2025年数学建模之Hermite插值法和三次样条插值法（附上详细的matlab代码）

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插值算法

一般定义

若P(x)为次数不超过n的代数多项式，即
$P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$

若P(x)为分段多项式，即分段插值
若P(x)为三角多项式，即三角插值（一般用到傅里叶变换等复杂的数学工具）

拉格朗日插值法

在若干个不同的地方得到的观测值，拉格朗日插值发可以找到一个多项式，恰好在各个观测点取到观测值。

拉格朗日插值函数：（存在缺陷）
$L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i(\prod_{j=0\\j≠i}^{n}{\frac{x-x_j}{x_i-x_j}})$
上述方法存在着龙格现象（Runge phenomemon），由下图可知：

在这里插入图片描述
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高次插值会产生龙格现象，在两端的波动极大，产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，尽量不要使用高次插值。

牛顿插值法

$f(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)\\ +f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+...\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f[x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n](x-x_0)...(x-x_n)$

差商：
$称f[x_0,x_k]=\frac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}为f(x)关于x_0,x_k的一阶差商\\$
二阶差商：
$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_0,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}$
k阶差商：
$f[x_0,x_1,...,x_k]=\frac{f[x_1,...,x_{k-1},x_k]-f[x_0,x_1,...,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$

两种插值法的对比

由于牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，每次只要在原来的函数上添加新的项，产生新的函数

故牛顿插值法具有继承性，但仍存在龙格现象。

为了应对数学建模比赛，我们基本上用的是以下两种插值方法：

① 分段三次埃尔米特（Hermite）插值法

直接使用Hermite插值算法得到的多项式次数较高时，存在龙格现象，因此实际使用中，一般使用分段三次Hermite插值多项式。（PCHIP）

Matlab中的内置函数：

% x为已知样本点的横坐标，y是已知样本点的纵坐标 % new_x是要插入处对应的横坐标，返回p为new_x带入插值多项式下的值 p = pchip(x,y,new_x)

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②三次样条插值法

三次样条插值生成的曲线更加光滑

讯享网% x为已知样本点的横坐标，y是已知样本点的纵坐标 % new_x是要插入处对应的横坐标，返回p为new_x带入插值多项式下的值 p = spline(x,y,new_x)

下面比较这两种插值法：

clc,clear; x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; % 分段三次Hermite插值 p1 = pchip(x,y,new_x); % 三次样条插值 p2 = spline(x,y,new_x); figure(1); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'g-'); legend('样本点','三次Hermite插值','三次样条插值','Location','NorthWest')

在这里插入图片描述

在预测模型中，可以使用以上插值法进行预测：

讯享网clc,clear; load population.mat year = 2009:2018; % 分段三次Hermite插值预测 p1 = pchip(year, A, 2018:2021); % 三次样条插值预测 （更加平滑） p2 = spline(year, A, 2018:2021); figure(2); plot(year,A,'o--',2018:2021,p1,'r*-',2018:2021,p2,'bx-')

在这里插入图片描述

n维数据的插值法

p = interpn(x1, x2,..., xn, y, new_x1, new_x2,..., new_xn, method) % x2,x2,...,xn为已知样本点的横坐标 % y是已知样本点的纵坐标 % new_x1,new_x2,...,new_xn是插入点的横坐标 % method: % 'linear'：线性插值 % 'cubic'：三次插值 % 'spline'：三次样条插值法（最精准） % 'nearest'：最邻近插值法 p = interpn(x,y,new_x,'spline'); % 等价于 p = spline(x,y,new_x); % 更加光滑，连续

在这里插入图片描述

讯享网clc,clear; load A1.mat load A2.mat x = 1:2:15; y_label={ 
   '周数','轮虫','溶氧','COD','水温','PH值','盐度','透明度','总碱度','氯离子','透明度','生物量'}; for i = 1:11 y = A1(i,:); new_x = 1:15; p = spline(x,y,new_x); disp(p); subplot(4,3,i); plot(x,y,'ro',new_x,p,'b-'); % axis([0,15,-inf,inf]) xlabel('周数'); ylabel(y_label{ 
   i}); end

参考资料：数学建模清风：论文写作方法课程 https://www.bilibili.com/video/BV1Na411w7c2

2025年数学建模之Hermite插值法和三次样条插值法（附上详细的matlab代码）

插值算法

一般定义

拉格朗日插值法

牛顿插值法

两种插值法的对比

① 分段三次埃尔米特（Hermite）插值法

②三次样条插值法

n维数据的插值法

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