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2025年矩阵的初等变换和等价

科技前沿 • • 阅读 38

矩阵的初等变换和等价矩阵等价 同型矩阵 A B A 经过有限次初等变换化为 B 称 A 与 B 等价 矩阵等价性质 1 A A 2 若矩阵 A 和矩阵 B 等价 则 矩阵 B 和矩阵 A 也等价 3 若矩阵 A 和矩阵 B 等价 矩阵 B 和矩阵 C 等价 则矩阵 A 和矩阵 C 等价 方程组的三种形式变形 lt

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矩阵等价：同型矩阵A，B,A经过有限次初等变换化为B,称A与B等价。
矩阵等价性质：
（1）A~A;
  (2)若矩阵A和矩阵B等价，则 矩阵B和矩阵A也等价；
  (3)若矩阵A和矩阵B等价，矩阵B和矩阵C等价，则矩阵A和矩阵C等价；
  方程组的三种形式变形<----->矩阵的三种初等变换<------>矩阵左乘E(i,j)、E(i(k))、E(ij(k))
  注：k不等于0

1.E^{-1}(i,j)=E(i,j)
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2.E^{-1}(ij(k))=E(ij(\frac{1}{k}))

3. E^{_{-1}}(ij(k))=E(ij(-k))

问题一：设A为n阶可逆矩阵，则A是否可以经过有限次初等行变换化为E?

答：可以，

问题二：设A为n阶不可逆矩阵，则A是否可以经过有限次初等行变换化为\begin{pmatrix} E_r& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}?

答：不一定。

问题三：设A为n阶不可逆矩阵，则A是否可以经过有限次初等变换化为\begin{pmatrix} E_r& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}?

答：可以。

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