§3 古典概型
定义1.3.1（古典概型）
满足下列性质的随机现象称为古典概型：
- 在试验中他的全部可能结果个数有限。
- 每个事件发生的概率相等。
古典概型是有限样本空间的特例。
选 Ω = { ω 1 , ω 2 , ⋯ , ω n } \Omega = \{ \omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}\} Ω={
ω1,ω2,⋯,ωn} 作为样本空间，且此时应该有
P ( ω 1 ) = P ( ω 2 ) = ⋯ = P ( ω n ) = 1 n . P(\omega_{1}) = P(\omega_{2}) = \dotsb =P(\omega_{n}) = \frac{1}{n}. P(ω1)=P(ω2)=⋯=P(ωn)=n1.
在古典概型中，事件 A A A 的概率是一个分数，其分母是样本点的总数 n n n，分子是事件 A A A 中所包含的样本点个数 m m m。由于样本点 ω 1 , ω 2 , ⋯ , ω n \omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n} ω1,ω2,⋯,ωn 的出现必然导致 A A A 的出现，故习惯上常称其为 A A A 的有利场合。因此：
P ( A ) = m n = A 的 有 利 场 合 数 目 样 本 点 总 数 . P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A的有利场合数目}{样本点总数}. P(A)=nm=样本点总数A的有利场合数目.
下面介绍基本的组合分析公式。事实上，全部的组合分析公式推导均基于乘法原理和加法原理。
从包含有 n n n 个不同元素的总体中取出 r r r 个进行排列，此时既要考虑到所取出的元素，亦要考虑其取出的顺序。
这样的排列可分为两类：有放回的选取，和不放回的选取。
定义1.3.2（有重复的排列）
在有放回的选取中：从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个进行排列，称这种排列为有重复的排列，其总数有 n r n^{r} nr 种。
定义1.3.3（选排列和全排列）
在不放回选取中，从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个进行排列，其总数为
A n r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 ) A^{r}_{n} = n(n-1)(n-2)\dotsb(n-r+1) Anr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)
称其为选排列。特别地，当 r = n r = n r=n 时，称为全排列。
n n n 个不同元素的全排列数为：
P n = n ( n − 1 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! P_{n} = n(n-1)\dotsb3\cdot 2 \cdot 1 = n! Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!
定义1.3.4（组合）
从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个而不考虑其顺序，称为组合。其总数为：
C n r = ( n r ) = A n r r ! = n ! ( n − r ) ! C^{r}_{n} = \binom{n}{r} = \frac{A^{r}_{n}}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!} Cnr=(rn)=r!Anr=(n−r)!n!
( r n ) \binom{r}{n} (nr)称为二项系数，是下列二项展开式的系数：
( a + b ) n = ∑ r = 0 n ( n r ) a r b n − r . (a+b)^{n} = \sum^{n}_{r=0} \binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}. (a+b)n=r=0∑n(rn)arbn−r.
若 r 1 + r 2 + ⋯ + r k = n r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = n r1+r2+⋯+rk=n，将 n n n 个不同的元素分成 k k k 个部分，则不同的分法有
n ! r 1 ! r 2 ! ⋯ r k ! \frac{n!}{r_{1}! r_{2}!\dotsb r_{k}!} r1!r2!⋯rk!n!
种，上式中的数称为多项系数，因其为 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) n (x_{1} + x_{2} + \dotsb + x_{k})^{n} (x1+x2+⋯+xk)n 展开式中 x 1 r 1 , x 2 r 2 , ⋯ , x k r k x_{1}^{r_{1}},x_{2}^{r_{2}},\dotsb,x_{k}^{r_{k}} x1r1,x2r2,⋯,xkrk 的系数。当 k k k 为 2 2 2 时即为二项系数。
若 n n n 个元素中有 n 1 n_{1} n1 个带脚标 “ 1 ” “1” “1” ,有 n 2 n_{2} n2 个带足标 “ 2 ” “2” “2” , ⋯ \dotsb ⋯,有 n k n_{k} nk 个带脚标 “ k ” “k” “k”，且 n 1 + n 2 + ⋯ + n k = n n_{1} + n_{2} + \dotsb + n_{k} = n n1+n2+⋯+nk=n，从这 n n n 个元素中取出 r r r 个，使得带有足标 “ i ” “i” “i” 的元素有 r i r_{i} ri 个，而 r 1 + r 2 + ⋯ + r k = r . r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = r. r1+r2+⋯+rk=r. 则不同取法的个数为：
( n 1 r 1 ) ( n 2 r 2 ) ⋯ ( n k r k ) \binom{n_{1}}{r_{1}}\binom{n_{2}}{r_{2}}\dotsb \binom{n_{k}}{r_{k}} (r1n1)(r2n2)⋯(rknk)
从 n n n 个不同的元素中有重复地取出 r r r 个，不计顺序，则不同的取法有:
( n + r − 1 r ) \binom{n + r - 1}{r} (rn+r−1)
关于二项系数的一些公式：
- 在二项系数的定义式中，若约定 0 ！ = 1 0！ = 1 0！=1，则对 ∀ 0 ≤ k ≤ n \forall 0\leq k\leq n ∀0≤k≤n，成立
( n k ) = ( n n − k ) . \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. (kn)=(n−kn). - 对正整数 n n n 和 k k k，若 n < k n < k n<k，则
( n k ) = 0. \binom{n}{k} = 0. (kn)=0.
将排列公式推广至 r r r 为正整数，而 n n n 为任意实数 x x x 的情形：此时记
A x r = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − r + 1 ) A_{x}^{r} = x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1) Axr=x(x−1)(x−2)⋯(x−r+1)
同样定义
( x r ) = A x r r ! = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − r + 1 ) r ! \binom{x}{r} = \frac{A_{x}^{r}}{r!} = \frac{x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)}{r!} (rx)=r!Axr=r!x(x−1)(x−2)⋯(x−r+1)
并且约定： ( x 0 ) = 1. \binom{x}{0} = 1. (0x)=1.
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