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整式的知识结构

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目录

整式的知识结构

整式

一，整式概念

1. 字母表示数

2.如何分析题目，找数量

3.单项式

4.多项式

整式加减

一，同类项

1.1 合并同类项

1.2 合并同类项的基本步骤

1.3 小结

二，如何做有括号的？

去括号化简例子

三，整式加减的运算法则

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整式

一，整式概念

单项式和多项式统称为整式

1. 字母表示数

比M多1的数：M +1 ;

比K少30%的数：0.7K;

a与-5的和的3倍：3(a -5);

b与6的差的1/4: 1/4(b - 6);

x与y的平方和：x2 + 32

2.如何分析题目，找数量

例子：

3与2的和的3倍，列式子

3(3+2)

看题列式的注意事项

圈画关键词，确定数量关系：和，差，积，商，平方等；

抓关键词句，明确它们的意义与关系

如  和，差，积，商;        大，小，倍，分等；

如        比......提高/降低，顺水/逆水，打折等；

理清语句层次，明确运算顺序；

牢记概念和公式

数与字母，字母与字母相乘省略乘号，100t  vt

数与字母相乘时，数字需在前：2k

除法运算，一般按分数形式写；

带分数与字母相乘时，可以化成假分数；3/4 n

带单位时，和的形式要加括号；（5x + 2t + 3c）

3.单项式

像这样表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式

如  0.8p ， mn  ， d2h  ， -n ，2/3x  ，x等等...

注意点像 y -1 ，m + n 等都不是单项式

分母含有未知数的式子不属于单项式。因为单项式属于整式，而分母含有未知数的式子是分式。例如，1/x不是单项式。

单项式的数字因数叫做这个单项式的系数。

100t的积，100就是积的数字因数

系数的字面意思：有关系的数字，例如100t 表示的也就是（100个t相加）

系数”可以解释为“有多少个未知数（相加的和）

例如：

100t的系数是100；

0.8p的系数是0.8；

-2/3xy的系数是-2/3；

单项式的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如        2x^2y^3的次数是5；

5a^4的次数是4；

X的次数是1；

-t的系数是-1；                （-1 x -t）

t 的系数是1；     （1 x t）

任意不为零的0次方都为1.前提一定是不为零的底数 

 

单项式的系数是“1”或者“-1”时，1通常省略不写

π是数字，不是字母

单项式的次数是所有字母的指数和，不能漏加。如hc3d2 的次数是6

单项式的次数只与字母指数有关，不能多加。如32x3y3 的次数是6

4.多项式

几个单项式的和叫做多项式

多项式的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的叫做常数项，如2y^3 + 5x^2 + 18        这个多项式叫做：三次三项式，不含字母18叫做常数项

多项式的次数

多项式里次数最高的次数叫做多项式的次数

如2y^3 + 5x^2 的最高次数是3  叫做三次二项式

 

整式加减

一，同类项

同类项的定义：所含字母相同的，并且字母指数也相同的项叫做同类项     注：几个常数项也是！

例子：5a + 6a    6a^2 + 8a^2

同类项的特征：

“两个相同”：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数相同；

“两个无关”：同类项只与字母及其指数有关，与系数，字母顺序无关

1.1 合并同类项

合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项

例子：5a + 6a = 11a    6a^2 + 8a^2 = 14a^2

 

合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前个同类项的系数的和，

且字母连同指数不变

 

1.2 合并同类项的基本步骤

一找，找出多项式中的同类项，不同的同类项用不同的标记标出

二移，利用加法的交换律，结合律，将不同的同类项集中到不同括号内

三并，将同一括号的同类项相加

说明：运算结果通常按照同一个字母的指数“从大到小”或“从小到大”顺序排列

1.3 小结

(1) 合并同类项对不同的同类项可用“_”，“=”，“﹏”等符号做标记

(2) 运用交换律，结合律将多项式变形时，不要丢掉各项系数的符号;

(3) 当同类项互为相反数时，合并结果为0

(4) 合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，同时注意不要漏掉没有同类项的项

(5) 在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，适当化简，然后再求值，这种做法可以简化计算。

二，如何做有括号的？

去括号化简例子

 5 - (2+6)= -3    如果我直接去括号 5 - 2 + 6 = 9，这样结果就不对了

正确化简去括号：5 -2 - 6 = -3 

假如张三有100元，买了一个西瓜15元，和一袋薯片10元列式：100 - （15 + 10）= 75

100 - 15 + 10如果直接去括号计算的话就明显不对了

正确的是100元减去15减去10：100 - 15-   10

5 + （2 - 6）去括号：5 + 2 - 6 结果也是一样的

再多试几个例子就会发现一个规律

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号不变

如果括号外的因数是负数，去括号后原款号内各项的符号相反

去括号，看符号：是“正”号，不变号；

是“-”号，全变号；

注意符号变化规律，不要漏乘括号前面的倍数，不要丢项

根据这个规律类比到整式中

 

例1：-5a + (3a - 2) - (3a -7)

        -5a + 3a -2 - 3a + 7

        (-5 + 5 -3)a + (- 2 + 7)

        化简后：-3a + 5

例2：12（𝑥−0.5） 

        12𝑥−12×0.5 

化简后：12𝑥−6

遇到乘法的式子时

我个人觉得不用考虑什么变不变号有时会很麻烦，直接看下列的去括号，这样理解更简便

 这个5 - ( 2 + 6)也可以，把“ -”号可以看成-1，前面说过-1或1都是省略不写的

-1 x 2 = -2

-1 x 6 = -6

后：5 - 2 - 6

 

三，整式加减的运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项

注意：

 

化简求值的思路：先化简，再求值；

化简求值的书写格式

去括号；合并同类项；写出条件；代入数值；求出结果。

化简求值的过程中体会到了，类比，数式通性的思想

注：- 可以表示为-1，-1𝑥 可以表示为 −𝑥，1或者-1通常是省略不写的