艾萨克·牛顿（1643 - 1727），伟大的物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。在2005年更是力压爱因斯坦，被评为“科学史上最有影响力的人”。
牛顿研究微积分，主要还是为了物理上的计算服务的，我们来看下牛顿是怎么推导微积分的
本节会讲到以下一些内容：
- 牛顿的微积分
- 牛顿微积分的一点问题
1 牛顿的微积分
牛顿归纳微积分的整体思路是：
- 证明求导是不定积分的逆运算，即微积分第一基本定理（《高等数学》同济版为求积分上限函数的导数）
- 进而推出牛顿-莱布尼兹公式，即微积分第二基本定理
我们来看看是怎么做的。
1.1 微积分第一基本定理
牛顿尝试证明下面这个结论：
试证：
首先我们来看一下
是什么？
已知，
函数曲线下，
区间的面积为：
如果把上限
换为
，那么曲线下面积就为一个函数，我们称为积分上限函数：
定义了
之后，我们来看看牛顿的思路，分为两个步骤：
下面我会分别介绍这两个步骤，从这两个步骤我们可以分别看出：
- 步骤一，推出微积分第一基本定理
- 步骤二，展示一下牛顿是怎么求解导数的
1.1.1 步骤一
在当时，导数这个词还没有，不过有一个等价的词，就是变化率，因此牛顿就从求
的变化率出发。为了求变化率，牛顿是这么思考的：
以
为底做一个矩形，使得它面积等于
：
可以看出
越小，
的面积越接近
的乘积，可以拖动
点试试：
牛顿断言，当
足够小的时候，
：
即
足够小，
关于
的增量为
，根据变化率的定义（牛顿在物理学里面求瞬时速度的时候就是这么算的），可以得到：
其中，牛顿称
（注意头上有个小点）为
的流数（这里流数就是指的变化率），也就是现在的导数
。
至此：
实际上到了这里已经得出了微积分第一基本定理：
从这里可以看出，面积函数
实际上是
的一个原函数，如果改变积分下限的话，可以得到的所有原函数（如果
的值域为
的话）：
1.1.2 步骤二
下面就是要计算出
等于多少了。
上一节我说过，费马和卡瓦列里计算出了：
替换一下就可以得出：
基于此结论，牛顿继续推了下去（二项式指的是
为自然数，而广义二项式指的是
为有理数，广义二项式公式是牛顿非常得意的一个数学推论）：
证明完毕：
1.2 牛顿-莱布尼兹公式
顺着积分第一基本定理出发，要推出了大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式（微积分第二基本定理）就很容易了。
也就是:
积分第二定理最大的意义是大大简化了运算。
比如在有这个公式之前，已知
，并且有
（牛顿当时计算出了这个
的幂级数展开），所以要计算
的积分，就需要对
的幂级数逐项积分，然后计算级数的和，这是非常需要技巧的。
1.3 手稿
下面是牛顿的手稿，可以让我们看看微积分青涩的模样：
一门学科草创之初，其实是非常混乱的。上面的证明过程都是我用现代语言该写过的，否则看起来还是挺费劲的。实际上微积分还要过两三百来年才能变得接近现在的模样，更加通俗易懂。
2 牛顿微积分的一点问题
牛顿的推导中有一个致命的问题，在之前推导
到底是多少的时候：
但这个问题超越了当时所有数学家的能力极限，需要在很久以后才得到真正的解答，我们先来看看可以解决的另外一些问题。
牛顿的微积分是从微积分第一基本定理开始的：
进而推出了以下一些概念：
- 导数：变化率
- 不定积分：导数的逆
- 定积分：也就是曲线下面积，通过不定积分来进行计算
但是牛顿有三个问题没有给出答案，其一：
其二：
其三：
是不是所有原函数都可以写成积分上限函数？
2.1 问题一
因为积分上限函数是定积分的推广，所以
可积，则
存在。
我们现在知道，《高等数学》同济版给出了两个可积的充分条件：
- 设
在上连续，则在上可积 - 设在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积
在
上连续，则
在
上可积 
在
上有界，且只有有限个间断点，则
在
上可积 至于充要条件，我会在这个系列文章的最后给出。
2.2 问题二
笼统来说，如果
连续，则
可导。
更进一步，可以通过下面的原函数存在定理来证明。
试证明：含有一类间断点、无穷间断点的函数
在包含该间断点的区间内必没有原函数
。
证：假设为
的原函数
，设
为间断点，分情况讨论：
(1) 设
为第一类可去间断点，有
。而
，使用洛必达法则得到
，即
，矛盾，所以
不存在。
第一类跳跃间断点和无穷间断点同理可证。
当然第二类震荡间断点的
是可能有
，比如：
其原函数为：
。
2.3 问题三
下面这个函数就是有原函数，但是没有积分上限函数的：
它的图像是：
从图像上大概可以知道，
在
之间是无界的，所以不可积。
但是它确实有原函数：
3 总结
要解决积分上限函数的种种局限性，我们只需要给出一个更好的定积分定义，这个就需要由下一章节出场的大师来给出了。
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