1. 首页首页
  2. 科技前沿科技前沿

2025年【数值优化之凸集与凸函数】

科技前沿 • • 阅读 53

【数值优化之凸集与凸函数】欢迎大家关注我的 B 站 偷吃薯片的 Zheng 同学的个人空间 偷吃薯片的 Zheng 同学个人主页 哔哩哔哩视频 bilibili com 本文参考书籍 最优化计算方法 若侵权请联系删除 目录 1 凸集的相关定义 1 1 凸集 仿射集 1 2 凸组合 凸包 1 3 重要的凸集 1 3 1 超平面与半空间 1 3 2

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

欢迎大家关注我的B站：

偷吃薯片的Zheng同学的个人空间-偷吃薯片的Zheng同学个人主页-哔哩哔哩视频 (bilibili.com)

本文参考书籍《最优化计算方法》，若侵权请联系删除

目录

1 凸集的相关定义

1.1 凸集、仿射集

1.2 凸组合、凸包 

1.3 重要的凸集

1.3.1 超平面与半空间

1.3.2 球、椭球、锥

​1.3.3 多面体

1.4 保凸运算

2 分离超平面定理

3 凸函数

3.1 凸函数、严格凸函数、强凸函数

3.2 一阶条件

3.3 二阶条件

4 保凸运算

5 共轭函数

6 次梯度

1 凸集的相关定义

1.1 凸集、仿射集


讯享网

 可见仿射集一定是凸集，但是要注意凸集的边界是开还是闭

1.2 凸组合、凸包 

 同理可得仿射组合与仿射包

1.3 重要的凸集

1.3.1 超平面与半空间

可以通过降维的方式去理解超平面与半空间

1.3.2 球、椭球、锥

1.3.3 多面体

1.4 保凸运算

 2 分离超平面定理

3 凸函数

3.1 凸函数、严格凸函数、强凸函数

 强凸函数减去一个正定二次函数仍然是凸函数，强凸函数一定是严格凸函数，而当强凸参数为0时，则退化成凸函数。

3.2 一阶条件

还可以用其梯度信息来判断是否是凸函数

f(y)\geq f(x)+\bigtriangledown f(x)^{T}(y-x)

其实也可以描述成凸函数始终在某一点切线的上方，也就可以通过任意一点的一阶近似得到可微凸函数的全局下界

还可以用梯度单调性来判断

(\bigtriangledown f(x)-\bigtriangledown f(y))^{T}(x-y)\geq 0

凸函数仅当其梯度为单调映射且定义域为凸集的时候

3.3 二阶条件

若函数的二阶梯度也就是嗨森矩阵是半正定的，此函数就是凸函数

4 保凸运算

5 共轭函数

共轭函数相当于是线性函数与原函数的最大差值，它是一系列y的凸函数的逐点上确界，所以共轭函数一定是凸函数 

6 次梯度

当一个函数在某点无法求梯度时，我们便引入次梯度

（1）函数是凸函数

（2）次梯度是一个集合，很多向量满足

（3）当函数可导时，梯度等于次梯度

小讯
上一篇 2025-03-08 10:53
下一篇 2025-01-24 08:48

相关推荐

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请联系我们，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://51itzy.com/kjqy/42406.html