2025年兰道尔原理（Laudauer‘s Principle）

科技前沿 • 2025-01-08 07:17 • 阅读 80

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推到所需先验知识：

系统的m个微观态都是等概率时，香农熵（信息熵）计算公式： $H=log_{2}m$
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系统的m个微观态都是等概率时，热力学熵计算公式： S=klnm （注：k是玻尔兹曼常数）

信息熵和信息的关系：消除信息熵=获取信息

如上图，设想一个热力学熵为S的气罐，里面只有一个气体分子。

若将气罐分成W1个小空间，该分子则有W1个可能位置，分子的每个可能位置都被视为一个微观状态（microstate）。整个气罐有W1个微观状态，因此半个气罐有W2=W1/2个微观状态。如图，则整个气缸的微观状态数为8个，半个气缸的微观状态数为4个。所有微观状态都被视为相同概率。

若将分子位置限制为半个气罐，则气罐的熵S将从起始高熵值 $S_{1}=klnW_{1}J/K$ 变到低熵值 $S_{2}=klnW_{2}J/K$ 。（注：单位J是焦耳，单位K是开尔文温度）

而该限制行为所缩减的气罐的熵为 $\Delta S=kln2J/K$ ，不管W1是多少。

$\Delta S=S_{1}-S_{2}\\ =klnW_{1}-klnW_{2}\\ =kln\left ( 2W_{2} \right )-klnW_{2}\\=kln\left(2W_{2}/W_{2} \right )\\=kln2J/K$

乘以温度T后，

$T\Delta S=kTln2J$

就得到了：

改变系统热力学熵所需的最低能量是kTln2焦耳。

而此操作所改变的信息熵 $\DeltaH$ $\DeltaH$ $\Delta H$ 是1bit。

$\Delta H=log_{2}W_{1}-log_{2}W_{2}\\=log_{2}2(W_{2}/W_{2})\\=1bit$

也就是说：

改变1bit香农熵会导致kln2J/K热力学熵的改变。

改变1bit香农熵所需的最低能量是kTln2焦耳。

又因为消除信息熵=获取信息，即，改变信息熵等同于改变信息，因此：

写入/删除1bit信息会导致kln2J/K热力学熵的改变，消耗kTln2焦耳能量。

因为传递的信息不得不克服由随机振动造成的噪音干扰，所以消耗的能量无法避免的随温度T的升高而升高。