三角形重心是三角形三边中线的交点.
根据重心的性质,三边中线必交于一点.
所以作三角形任意两边的中线,其交点就是此三角形的重心.
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
证明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.
证明：过E作EH平行BF.
∵AE=BE且EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(中位线定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴EG=1/2CG(⊿CFG∽⊿CHE)
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
证明二
证明方法：
在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高H1,H可知OH1=1/3AH 则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.(等边三角形)
证明方法：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请联系我们，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://51itzy.com/kjqy/38941.html