对增益、相位裕度的个人理解

科技前沿 • 2025-02-17 10:04 • 阅读 49

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对于标称的反馈系统（如下所示），系统是稳定的。

闭环系统传递函数为 $Q_{1}\left ( s \right )=\frac{H\left ( s \right )}{1+H\left ( s \right )G\left ( s \right )}$ ，但是实际系统中，会有干扰，是的实际的闭环系统如下所示。

此时闭环系统传递函数 $Q_{2}\left ( s \right )=\frac{H\left ( s \right )}{1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )e^{j\phi }}$ ，那么如何衡量干扰项、 $e^{j\phi }$ 对系统稳定性指标造成的影响呢？我们用增益裕度、相位裕度来衡量这两个干扰对系统稳定性的影响。 $Q_{2}\left ( s \right )$ 的分母为 $F\left ( s \right )=1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )e^{j\phi }$ ，对于连续系统，若反馈系统稳定，那么 $F\left ( s \right )=1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )e^{j\phi }$ 的全部零点都应出现在s左平面。找到一个临界稳定点，也就是 $F\left ( s \right )=1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )e^{j\phi }$ 的零点出现在s平面虚轴上的情况。此时有 $1+Ke^{j\phi }G\left ( w \right )H\left ( w \right )=0$ 。

增益裕度

引入增益项干扰的反馈系统，由稳定变成不稳定的过程中，K的变化范围就是增益裕度。因此消除延迟项 $e^{j\phi}$ 的影响，令 $\phi=0$ ，此时求 $1+KG\left ( w_{1} \right )H\left ( w_{1} \right )=0$ ，解得临界稳定时 $w_{1}$ 与的关系。由 $1+KG\left ( w_{1} \right )H\left ( w_{1} \right )=0$ 可以推出 $\angle {G\left ( w_{1} \right )H\left ( w_{1} \right )}=-\pi$ 。也就是说增益裕度就是当 $\angle {G\left ( w_{1} \right )H\left ( w_{1} \right )}=-\pi$ 时， $K=\frac{-1}{\left | G\left ( w_{1} \right )H\left ( w_{1} \right ) \right |}$ 。

相位裕度

引入延迟项干扰的反馈系统，由稳定变成不稳定的过程中， $\phi$ 的变化范围就是相位裕度。因此消除增益项的影响，令 K=1 ，此时求 $1+e^{i\phi}G\left ( w_{2} \right )H\left ( w_{2} \right )=0$ ，解得临界稳定时 $w_{2}$ 与 $\phi$ 的关系。由 $1+e^{i\phi}G\left ( w_{2} \right )H\left ( w_{2} \right )=0$ 可以推出 $\left | G\left ( w_{2} \right ) H\left ( w_{2} \right )\right |=1$ 。也就是说增益裕度就是当 $\left | G\left ( w_{2} \right ) H\left ( w_{2} \right )\right |=1$ 时， $\phi=-\pi-\angle {G\left ( w_{2} \right )H\left ( w_{2} \right )}$ 。

对增益、相位裕度的个人理解

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