一个有趣的实验
本文从一个有趣而诡异的实验开始。最早这个例子博主是从 Stackoverflow上的一个问题中看到的。为了提高可读性，博主这里做了改写，简化成了以下两段代码：
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当然 原文中的投票最高的回答解释的非常好，但博主第一次看的时候是一头雾水，因为大部分基础知识已经还给大学老师了。所以，本着知其然还要知其所以然的态度，博主做了一个详尽的分析和思路整理过程。也希望读者能够从0开始解释这个诡异现象的原因。
复习浮点数的二进制转换
三个主要成分是：
- Sign（1bit）：表示浮点数是正数还是负数。0表示正数，1表示负数
- Exponent（8bits）：指数部分。类似于科学技术法中的M*10^N中的N，只不过这里是以2为底数而不是10。需要注意的是，这部分中是以2^7-1即127，也即0代表2^0，转换时需要根据127作偏移调整。
- Mantissa（23bits）：基数部分。浮点数具体数值的实际表示。
下面我们来看个实际例子来解释下转换过程。
Step 1 改写整数部分
以数值5.2为例。先不考虑指数部分，我们先单纯的将十进制数改写成二进制。
整数部分很简单，5.即101.。
Step 2 改写小数部分
小数部分我们相当于拆成是2^-1一直到2^-N的和。例如：
0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8….，也即.000
Step 4 填充
指数部分（Exponent）：之前说过需要以127作为偏移量调整。因此2的2次方，指数部分偏移成2+127即129，表示成填入。
整数部分（Mantissa）：除了简单的填入外，需要特别解释的地方是1.010011中的整数部分1在填充时被舍去了。因为规格化后的数值整部部分总是为1。那大家可能有疑问了，省略整数部分后岂不是1.010011和0.010011就混淆了么？其实并不会，如果你仔细看下后者：会发现他并不是一个规格化的二进制，可以改写成1.0011 * 2^-2。所以省略小数点前的一个bit不会造成任何两个浮点数的混淆。
具体填充后的结果见下图
练习：如果想考验自己是否充分理解这节内容的话，可以随便写一个浮点数尝试转换。通过 浮点二进制转换工具可以验证答案。
什么是Denormalized Number
了解完浮点数的表达以后，不难看出浮点数的精度和指数范围有很大关系。最低不能低过2^-7-1最高不能高过2^8-1（其中剔除了指数部分全0喝全1的特殊情况）。如果超出表达范围那么不得不舍弃末尾的那些小数，我们成为overflow和underflow。甚至有时舍弃都无法表示，例如当我们要表示一个：1.00001111*2^-7这样的超小数值的时候就无法用规格化数值表示，如果不想点其他办法的话，CPU内部就只能把它当做0来处理。那么，这样做有什么问题呢？最显然易见的一种副作用就是：当多次做低精度浮点数舍弃的后，就会出现除数为0的exception，导致异常。当然精度失准严重起来也可以要人命，以下这个事件摘自wikipedia
On 25 February 1991, a loss of significance in a MIM-104 Patriot missile battery prevented it intercepting an incoming Scud missile in Dhahran, Saudi Arabia, contributing to the death of 28 soldiers from the U.S. Army’s 14th Quartermaster Detachment.[25] See also: Failure at Dhahran
于是乎就出现了Denormalized Number（后称非规格化浮点）。他和规格浮点的区别在于，规格浮点约定小数点前一位默认是1。而非规格浮点约定小数点前一位可以为0，这样小数精度就相当于多了最多2^22范围。
但是，精度的提升是有代价的。由于CPU硬件只支持，或者默认对一个32bit的二进制使用规格化解码。因此需要支持32bit非规格数值的转码和计算的话，需要额外的编码标识，也就是需要额外的硬件或者软件层面的支持。以下是wiki上的两端摘抄，说明了非规格化计算的效率非常低。> 一般来说，由软件对非规格化浮点数进行处理将带来极大的性能损失，而由硬件处理的情况会稍好一些，但在多数现代处理器上这样的操作仍是缓慢的。极端情况下，规格化浮点数操作可能比硬件支持的非规格化浮点数操作快100倍。
For example when using NVIDIA’s CUDA platform, on gaming cards, calculations with double precision take 3 to 24 times longer to complete than calculations using single precision.
如果要解释为什么有如此大的性能损耗，那就要需要涉及电路设计了，超出了博主的知识范围。当然万能的wiki也是有答案的，有兴趣的读者可以自行查阅。
回到实验
总上面的分析中我们得出了以下结论：
- 浮点数表示范围有限，精度受限于指数和底数部分的长度，超过精度的小数部分将会被舍弃（underflow）
- 为了表示更高精度的浮点数，出现了非规格化浮点数，但是他的计算成本非常高。
其他
当然，也有在程序内部也是有办法控制非规范化浮点的使用的。在相关程序的上下文中加上fesetenv(FE_DFL_DISABLE_SSE_DENORMS_ENV);就可以迫使CPU放弃使用非规范化浮点计算，提高性能。我们用这种办法修改上面实验中的代码后，y+=0的效率就和y+=0.1f就一样了。甚至还比y+=0.1f更快了些，世界观又端正了不是么:) 修改后的代码如下
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