1．绕着一个姑娘转圈

这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现。松鼠蹲在树椿上，猎人绕着树椿转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？

“绕 着转了一圈”这意味着什么？如果我们在这方面没有一致看法，则对上面的问题显然是无法回答的。在我们日常说的话中，许多词没有确切的定义。威廉·詹姆斯的 经典哲学著作《实用主义》一书中，有一段对“猎人和松鼠”这一问题的有趣探讨，他把这当作纯粹语义上的争论的一个典型。当双方一旦认识到他们所争论的只是 如何定义一个词时，困难就很快消除了。如果人们更清楚地认识到术语的精确定义该是多么重要，那么许许多多尖锐的争论问题几乎就都会变得象这个问题那样平凡 易解。

2．月亮的不解之谜

与前一个问题一样，这也只是对词义理解的含混造成的。“绕自己的轴旋转”这句话的确切意义是什么？这个问题必须澄清。对地球上的观察者来说，月球没旋转；对处在地球—月球系统外的观察者来说，它旋转了。

一 些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简单的问题，说起来这是很难使人相信的。奥古斯都·德莫尔干在他所著的《悖论集》一书的第一卷中，对十九世纪出版的 探讨这个问题的小册子作了评述，这些小册子那是反对“月球旋转了”这一观点的。一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利·皮瑞加尔的人在这场争论中真可谓之孜孜 不倦，他的讣告中有这样一段话，“在整个一生中，他在天文学上的主要目标。是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞加尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明 自己的论点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得而引起的一个又一个的失望。”

我们现在说与这个月球之谜紧密相关的另一个奇妙的问题。让我们在黑板上面两个大小相等、相互外切的圆盘，一圆盘沿着另一圆盘的边缘无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这样绕着不动的圆盘转动一周以后，它本身旋转了几圈？

大多数学生将会回答：一圈。可以让他们用同样大小的两个硬币做试验，过后他们会惊奇地发现，那个滚动的硬币实际上旋转了两圈！

还 有别的答案吗？这正像地球—月球那个问题一样，其答案也依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转了两 圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。

读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的口气写道：“如果你抡着一只猫在你头上转圈，那么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”

来信急剧增多，以致于在一八六八年四月编辑部便宣布他们不再讨论这个问题，而在一种名为“车轮”的新月刊上专门讨论这个“重大的问题”。这个杂志至少出了一期，专门刊载着读者们精心制作的各种装置的示意图，他们把这些寄给编辑部用来证明自己的论点。

3．镜子的魔力

因为梯姆斯（TIMOTHY）这个名字的每个字母都有个竖直的对称轴，所以它在镜中的象与原来一样，但在丽贝卡（REBECCA）这个名字中只有字母A具有竖直对称轴，结果这个名字在镜中的象只有A没变，其它字母都被颠倒了。

为 什么镜子会使左右颠倒，而不能使上下颠倒？这和上面所述及的关于月球和硬币的问题相似，也是词义上的问题，为了作出回答，我们必须在“左”、“右”、“颠 倒”这几个词的意义上取得一致意见。为了进一步弄清镜子到底做了些什么，请读马丁·格德纳所著《具有两面性的宇宙》的前三章，本书包括大量有关镜面反射对 称以及它在科学和日常生活中的作用的大量材料。

与TIMOTHY中字母不一样的是，DIOXIDE中的每个字母都有一条水平的对称轴，所以如把镜面竖直放置在这个词的上边，它在镜中的象好象没有变。在CARBON中，C、B、O也有水平对称轴，所以它们在镜中的象看起来也与原来一样，但是A、R和N都没有这样的对称轴，所以上边变成下边，下边变成上边。

可以让学生找出一些在镜面成象后看来与原来一样的英语单词，这是一个很好的课堂活动。第一步是查看所有的大写字母，并把那些具有水平对称轴的列出来。它们是B、C、D、E、H、I、K、O、X。用这些字母可组成许多四个字母或多字母的词，如CHOICE、COOKBOOK、ECHO、OBOE、ICEBOX、HIDE、DECIDED、CHOKED等等，一共有数百个这样的词。

当 学生把两个小镜面垂直放置并向两镜交角方向看去的时候，他就会看到自己的没有被镜面左右颠倒的象（需要稍为调整两个互相贴近的小镜的位置，使得在两镜中只 看到单独一个的象为止）。如果学生眨一下左眼，镜中的象不是象想象的那样眨一下右眼，而是另外一边的眼睛眨一下，原来这时镜中象的面部左右两边已互换了位 置，这是因为他的面部两边各被每个镜面反射一次、一共反射两次的缘故。

他 看到自己这样的象也许会觉得很陌生，这是因为他在平常镜中所看到的自己的面部总是左右颠倒了的。虽然人的面部有个竖直的对称轴，但左右两边很少是完全一样 的。当人们看到自己这个本来面目时，左右两边的微小差别就会使他感到这个象与原来的象有所不同，但是他自己也说不出不同在什么地方。他应该知道，正是这个 面部才是他（或她）本人为外部世界所辨认的面部！此外，他本人往通常镜中的象对熟知他的人来说也同样会感到有些奇怪。到底哪个是真正的面部？

要 想检查一下学生对这种“双镜”成象原理了解得如何，一个好办法是问一下他们，如果两镜面的邻接线是水平的而不是竖直的时候，他们会看到什么。这时所发生的 两次反射将使面部上下颠倒！这个被上下颠倒的象是在普通镜面所看到的象吗？不是，它仍旧是没有被镜面左右倒置的象，如果学生眨一下左眼，那么他这个上下颠 倒的象仍旧是眨一下右眼。

这些镜面游戏可作为学习变换几何中的对称和反射的极好的导引。所有上面谈到的“悖论”都可以用初等的变换理论来解释（参看哈罗德·R·雅可比所著教科书《数学——人类的魄力》第五章的第1、2、3课）。

4．小立方块和女士

这一段所列举的画面所造成的眼睛的错觉，都是对看到的同样东西做不同解释的实例。在第一例中，人们会把这一张平面团看作是一组小立方体的透视图，但是这个透视图可用两种不同方法来看，且每种解释方法都是同样有道理，这样，观察者的意念就在这两者之间来回转变。

第二幅画也是这么回事。你在面中不是看到一位年青姑娘，就是看到一位老太太，不可能哪个也没看到。观察者的意念在这两者间来回跳动。

第 三幅画有三种解释方法。对大多数人来说最困难的一种是看出一个大立方块上有个立方形洞，因为这是较少见的，但是我们如果不住地盯着看，尽力地把画中的小立 方体看成是个洞而不看成一个实体，最终将会领悟这种解释。学习用三种可能的方法来看这个图与解释几何图形的能力有很密切的关系。这种能力十分重要。众所周 知，在几何中看图看得不正确是产生误解的一个重要原因。

5．兰迪先生的奇异地毯

这 个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。我们在作图纸上画一个正方形．把它剪成四块，重新安排一下，拼 成一个长方形。除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。正是沿对角线的这点不完美 的叠合导致丢失了一个单位的面积。如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚 了。

如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。

上文涉及到四个长度：5，8，13，和21，我们会认出这是一个著名的数列中的四项。可以让学生找出这个数列各项的构成规律。显然，这就是有名的菲波拿齐数列，它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。

学 生们可使用这个数列的其它相邻四项来试验上述过程，无论选取哪四项，他们都会发现所作出的正方形和长方形的面积是不会相等的，但有时长方形比正方形小一个 单位面积，有时长方形此正方形大一个单位面积。我们应该进一步确定，什么时候在拼接成的长方形中失去一个单位面积，也就是说在长方形的对角线附近有个呈菱 形形状的重叠，什么时候长方形又会多得一个单位的面积，也就是说在拼接成的长方形对角线上出现一个菱形的空隙。

对这个菲波拿齐数列多做几次上述的试验，有人就会凭直观得出菲波拿齐数列的一个重要性质：这个数列任一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减l。用公式表示，则为：

t_n²=(t_n-1*t_n+1)±1

左边t_n²是正方形的面积，右边(t_n-1*t_n+1)±1是长方形的面积。当n从小到大依次取正整数时，上式中的正负号交替出现。如果一数在该数列中的位置数，即它的项数是奇数（如上面数列中的2，5，13等），则这个数的平方较前后相邻两偶数项之积多1；反之，偶数项的平方较前后相邻两奇数项之积少1。知道了这一事实，我们就可以预见由正方形剪接而成的长方形是多得了一个单位面积还是丢失了一个单位面积。

上面的这个菲波拿齐数列以1，1两数开始，广义的菲波拿齐数列可以从任意两数开始。用另外的一些菲波拿齐数列做上述试验，学生仍将会发现一些新东西。比如说，用数列2，4，6，10，16，……做试验，就会多得或丢失四个单位面积，数列3，1，7，11，18，……的“得”或“失”是五个单位面积。

设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：

我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。

学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？

为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是

上式中的恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于1.……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是

1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……

这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。

只 有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方形和正方形的面积相等。如要更多地了解黄金分割比率以及 它与上述正方形—长方形几何悖论之间的关系，请参看《科学美国人》杂志数学之谜和数学游戏第二集一书中关于黄金分割比率的那一章。

两个全等正方形怎么会有不同的面积呢？在兰迪的第二个地毯悖论中，所丢失的面积是一个实实在在的窟窿。与前一问题不一样的是，这里的两个图形在各自的那条斜线上都是完美地接合在一起，并无重叠和空隙。学生们能够找出那个不见了的单位正方形到哪里去了吗？

为 了帮助学生们找到答案，可建议他们做两个全等的、上面没有孔洞的正方形，做得越大越好。把其中的一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，把它们重新安排 一下拼成那个带孔的图形，最后把它放到未经剪切的正方形上边。待两者的上边和两侧边都重合后，他们就会发现那个带孔的图形不是真正的正方形。它实际上是个 长方形，比正方形高1/12分米，于是它的底部就多出一个12分米×1/12分米的窄带，其面积恰好与地毯上的孔洞面积一样。

这样解释了那个正方形的一个单位是如何消失的，然后学生们就可以再设法找出正方形高度增加的道理。其秘密在于：在没有孔洞的那个正方形的分割图形中，直角三角形斜边上那个顶点并不是整数网格点[*]。学生们发现了这点之后，他们就可以自己设计出许多各种各样的正方形，使得在拼成长方形后，“多得”或“失去”的多于一个单位的面积。

上 述这一奇妙的事实以“卡瑞正方形”的名字为大家所熟知，这是因为它的发明者是一个名叫保罗·卡瑞的业余魔术师。这种悖论还具有好几种其他表现方式，三角形 也是其中之一。学生们要想探讨卡瑞正方形或卡瑞三角形，则需阅读马丁·戈德纳所著《数学，魔术和奇迹》一书的第八章和《科学美国人》杂志中的《数学新分 支》一书的第十一章。