2025年可测集可测函数与本质上下确界

科技前沿 • 2025-02-05 14:48 • 阅读 41

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一.可测集与可测函数

定义测度表示符号m，测度是个长度实数值。对于直线上的区间段a—b，不论是开区间或者闭区间，其测度都是b-a。

对于实数集合上R中的有界点集，人们想使用最少的开区间将E覆盖，这就是可测集的来历。

❶外测度m(E)：设E为区间(a,b)有界点集，则把任何覆盖E的一组开区间（即这些开区间的并集包含E）的下确界（最小长度之和）称之为E的外侧度m(E)。即外侧度表征由外向内“挤”的方式表征E的最小长度，

❷内测度m'(E):定义b-a与(a,b)\E的外侧度的差值为E的内测度m'(E)。

❸可测集：倘若有界点集E的外侧度等于内测度，则称E为可测集且测度(即若有测度概念，则一定存在类外测度且相等)为m(E)。即

m(E)=m'(E)=b-a-m((b,a)\E)

注意，无界点集(如Cantor集)也可测且测度可以是有限数。

❹零测集:测度为0的的集称之为零测集。零测集的子集和可数个数的零测集的之和仍然是零测集。例如，可数集（x1,x2,x3,......）是零测集。从勒贝格测度的角度来看，有理数集合也为零测集。

❺几乎处处：仅在零测集上不成立的性质成为几乎处处。例如，如果两个函数除了在一个零测集上不相等，出处相等，则两个函数几何处处（almost everywhere）相等，记作：

f=g, a.e.

几乎处处连续：如果一个函数的间断点是一个零测集，则这个函数几乎处处连续。

❻可测函数

设f为可测集E上的广义实质函数（值可为无穷）。对于任意实数a，若集合{f<=a}或{f<a}或{f>=a}或{f>a}为可测集，则称f为可测集E上的可测函数。

可测集上的连续函数都是可测函数。

❶本质上下确界

设f:X → R为定义在X上的实函数，不一定可测的。设a为实数，则函数的：

本质上确界。如果{f>a}为零测集，或f(x)<=a几乎（almost everywhere）处处成立，称a为essential supermum

本质下确界。如果{f<a}为零测集，或f(x)>=a几乎（almost everywhere）处处成立，称a为essential infimum

❷对比上、下确界

在实数轴上，考虑函数①：

这个函数的上确界（最大值）是5，下确界（最小值）是−4。然而，函数只在集合{1}和{−1}内才取得这些值，它们的测度为零。在所有其它地方，函数的值为2。因此，函数的本质上确界和本质下确界都是2。

考虑函数②：

其中Q表示有理数。这个函数既没有上界也没有下界，所以上确界和下确界分别是∞和−∞。但是，从勒贝格测度的角度来看，有理数集合的测度为零；因此，真正有关的是在这个集合的补集发生的事情，其中函数由arctan x给出。于是，函数的本质上确界是π/2，本质下确界是−π/2。

考虑函数③

f(x) = x³

对于所有的实数x。它的本质上确界是+∞，本质下确界是−∞。

❸本质上下确界与上下确界的关系：