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2025年excel统计分析——曲线回归

科技前沿 • • 阅读 54

excel统计分析——曲线回归参考资料 生物统计学 两个变量之间常呈非直线关系 非直线关系的两个变量需要用曲线回归模型来进行分析 曲线回归 curvilinear regression 有多种曲线类型 选择曲线类型时 需要根据散点图观察变量间的协同变化区试 同时考虑变化过程的专业解释 进行曲线回归分析时

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参考资料：生物统计学

        两个变量之间常呈非直线关系，非直线关系的两个变量需要用曲线回归模型来进行分析。曲线回归（curvilinear regression）有多种曲线类型。选择曲线类型时，需要根据散点图观察变量间的协同变化区试，同时考虑变化过程的专业解释。进行曲线回归分析时，通常采用线性化方法将曲线方程线性化，建立线性方程并进行显著性检验，然后还原成曲线回归方程。、

1、常用曲线回归模型

（1）逆函数模型：y=a+bx^{-1}
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        线性化方法：令x'=x^{-1}，得到直线回归方程y=a+bx'

（2）指数函数模型：y=e^{a+bx}

        线性化方法：等号两侧同时取对数，使原方程变为：ln(y)=z+bx。令y'=ln(y)，得直线回归方程y'=a+bx

（3）对数函数模型：y=a+b\times ln(x)

        线性化方法：令x'=ln(x)，得直线回归方程y=a+bx'

（4）幂函数模型：y=a\times x^b

        线性化方法：等号两侧同时取对数，原方程变为：ln(y)=ln(a)+b\times ln(x)，令y'=ln(y)，a'=ln(a)，x'=ln(x)，得直线回归方程y'=a'+bx'

（5）二次函数模型：y=a+b_1x+b_2x^2

        线性化方法：令x^2=x_2，得线性回归方程y=a+b_1x+b_2x_2，按多元线性回归求解。

（6）三次函数模型：y=a+b_1x+b_2x^2+b_3x^3

        线性化方法：令x^2=x_2，x^3=x_3，得线性回归方程：y=a+b_1x+b_2x_2+b_3x_3，按多元线性回归求解。

2、logistic曲线

        Logistic曲线略呈“S”形，又称S曲线，曲线模型为：y=\frac{K}{1+ae^{-bx}}

        其中：e是自然对数的底；K是y的极限值；b为增长速度。

        当x=0时，y=K/(1+a)为起始大小，当x->∞时，y=K。其特点为增长速度在开始阶段随时间的增加而递增，经过x=ln(a)/b，y=K/2拐点后，增长速度逐渐减缓，并逼近极限值K。如下图：

        Logistic曲线在生态学中用于描述生物种群在有限空间中的增长过程，在动物饲养、植物栽培、环境资源领域也得到广泛应用。

        拟合Logistic模型时，通常采用三点法计算K值。假设x1、x2、x3等间距（通常为时间），对应的y分别为y1、y2、y3，则：

K=\frac{y_2^2(y_1+y_3)-2y_1y_2y_3}{y_2^2-y_1y_3}

求出K后，方程两边同时乘以\frac{1+a\times e^{-bx}}{y}，并移项得\frac{K-y}{y}=a\times e^{-bx}，两边同时取对数，得ln(\frac{K-y}{y})=ln(a)-bx。令y'=ln(\frac{K-y}{y})，a'=ln(a)，b'=-b，则原方程化为直线方程：y'=a'+bx'

操作案例：

回归方程计算如下：

显著性检验：

       方差分析显示回归关系极显著。说明肉鸡生长符合Logistic增长曲线。由回归方程还可判断：x=ln(a)/b=576，y=K/1.4135，是曲线的拐点，生长速率从越来越快开始变为越来越慢，这是此种肉鸡生长的关键时期。

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