贝塞尔函数Bessel（原理与实现）

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程序实现：

// crt_bessel1.c #include <math.h> #include <stdio.h> int main( void ) { double x = 2.387; int n = 3, c; printf( "Bessel functions for x = %f:\n", x ); printf( " Kind Order Function Result\n\n" ); printf( " First 0 _j0( x ) %f\n", _j0( x ) ); printf( " First 1 _j1( x ) %f\n", _j1( x ) ); for( c = 2; c < 5; c++ ) printf( " First %d _jn( %d, x ) %f\n", c, c, _jn( c, x ) ); printf( " Second 0 _y0( x ) %f\n", _y0( x ) ); printf( " Second 1 _y1( x ) %f\n", _y1( x ) ); for( c = 2; c < 5; c++ ) printf( " Second %d _yn( %d, x ) %f\n", c, c, _yn( c, x ) ); }

讯享网输出结果：

Bessel functions for x = 2.: Kind Order Function Result First 0 _j0( x ) 0.009288 First 1 _j1( x ) 0. First 2 _jn( 2, x ) 0. First 3 _jn( 3, x ) 0. First 4 _jn( 4, x ) 0.063131 Second 0 _y0( x ) 0. Second 1 _y1( x ) 0.094374 Second 2 _yn( 2, x ) -0. Second 3 _yn( 3, x ) -0. Second 4 _yn( 4, x ) -1.

贝塞尔函数在新的<cmath>/<math.h>头文件中已经包含

库函数：

第一类变形贝塞尔函数：doublecyl_bessel_i( double nu, double x ) ; $I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(x/2)^{\nu + 2k}}{k! \; \Gamma(\nu + k + 1)}, \text{ for } x \ge 0$
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第二类变形贝塞尔函数：doublecyl_bessel_j( double nu, double x ) ;

$J_\nu(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k \; (x/2)^{\nu + 2k}}{k! \; \Gamma(\nu + k + 1)}, \text{ for } x \ge 0$

第三类变形贝塞尔函数：doublecyl_bessel_k( double nu, double x ) ;

$\begin{align}K_\nu(x) & = \textstyle\frac{\pi}{2} i^{\nu+1} \big(J_\nu(ix) + i N_\nu(ix)\big) \\ & = \begin{cases} \displaystyle \frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin \nu\pi}, & \text{for } x \ge 0 \text{ and } \nu \notin \mathbb{Z} \\[10pt] \displaystyle \frac{\pi}{2} \lim_{\mu \to \nu} \frac{I_{-\mu}(x) - I_\mu(x)}{\sin \mu\pi}, & \text{for } x < 0 \text{ and } \nu \in \mathbb{Z} \\ \end{cases}\end{align}$

柱诺依曼函数第二类柱贝塞尔函数：doublecyl_neumann( double nu, double x ) ;

$N_\nu(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{J_\nu(x)\cos \nu\pi - J_{-\nu}(x)}{\sin \nu\pi}, & \text{for } x \ge 0 \text{ and } \nu \notin \mathbb{Z} \\[10pt] \displaystyle \lim_{\mu \to \nu} \frac{J_\mu(x)\cos \mu\pi - J_{-\mu}(x)}{\sin \mu\pi}, & \text{for } x < 0 \text{ and } \nu \in \mathbb{Z} \\ \end{cases}$
第一类球贝塞尔函数：doublesph_bessel( unsigned n, double x ) ;

$j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x), \text{ for } x \ge 0$

原理解释：

利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作Jn（x），用x的偶次幂的无穷和来定义，数 n称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。J0 （x）的图形像衰减的余弦曲线，J1（x）像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作Yn（x）。当n为非整数时，Yn(x)可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当n为整数时，Yn(x)不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn，其中i为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。

贝塞尔函数Bessel（原理与实现）

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