琴生不等式一般形式_琴生不等式杨格不等式

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上一讲讲了琴生不等式，这次本来想讲一讲幂平均不等式，但觉得杨格不等式比较简单，也有朋友在留言中提到，所以，本期就先介绍杨格不等式。而幂平均不等式就留到下一讲吧。

琴生不等式

函数f(x)是定义在开区间(a,b)上的凸函数。设λ1, λ2, ··· , λn是n个正实数，λ1+λ2+···+λn=1。x1, x2, ··· , xn 是开区间(a,b)上任意n个点，则下面不等式成立：

讯享网这个不等式称为琴生不等式。(注意，这里所说的凸函数是下凸函数。)若取λ1=λ2=···=λn=1/n，则上面的(7)式将成为：

(8)式也是琴生不等式，它是(7)式的特殊情况。有时人们把(8)这种简单一些的形式称为琴生不等式，把(7)这种一般些的形式称为加权琴生不等式。(很多人也给出过(8)式的证明方法，我上一期则是给出(7)式的证明。这些都是可以的。)若上面琴生不等式(7)和(8)的定义中，f(x)是凹函数(上凸函数)，则(7)式和(8)式中的小于等于号“≤”就变为大于等于号“≥”，分别成为下面的(7')式和(8')式：

从琴生不等式出发推导其他不等式，需要选取恰当的函数f(x)。比如选择 f (x ) = ln x。因为这个对数函数是上凸函数，所以由(8')式，得

即n个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。这就是所谓的平均不等式，或叫做均值不等式，或明确一些，叫做算术-几何平均不等式。这个不等式是最为常用的不等式，前几期也从不同角度说到这个不等式。在n=2时，就得到更加常用的均值不等式：

您可能会觉得这个均值不等式过于简单了，那好的，我下面讲一讲它的推广——杨格不等式(Young Inequality)。因为存在两种形式的琴生不等式(一个是一般的，一个是特殊的)，所以既然存在均值不等式，那么就一定存在与均值不等式对应的另一个不等式，这就是杨格不等式。想要探出个究竟，请跟我来！

同样考虑对数函数 f (x ) = ln x。我们应用一般形式的琴生不等式(7')，取n=2，演化过程如下：