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二项式的定义

在数学概念中两个变量的相加，就是二项式。

二项式定理（binomial theorem）主要是讲解二项式整数次幂（或称次方）的代数展开。

讯享网        是二项式（x+y）的n次方。

二项式的几何意义

二项式展开与规律性分析

从以上可以发现下列规则：

（1）x和y的最高次幂的系数皆是1。

（2）x和y的次高次幂的系数皆是n。

（3）各项的指数和为n=n-k+k。

（4）各系数左右对称，由左右两边往中间变大。

Pascal三角形：

                                                                1

                                                        1                1

                                                1                2                1

                                        1                3                3                1

                                1                4                6                4                1

                        1               5                10                10                5                1

                1                6                15                20                15                6                1       

        1                7             21                35                35                21                7                1

1                8              28                56                70                56                28                8               1

找出项的系数

组合数学（combination）。

(1) 验证k=0        

(2) 验证k=1        

(3) 验证k=2        

(4) 验证k=4        

(5) 验证k=5        

二项式的通式

头系数计算是从n中取0个，计算方式如下：

尾系数计算是从n中取n个，计算方式如下：

中间系数验证：

二项式到多项式

如果在二项式内增加一个变量z，，这是三项式。

二项分布实验

成功概率是p，失败概率是1-p

二项式公式，可以得到p（成功）和(1-p）（失败）出现 的次数概率，称二项式分布概率。

将二项式概念应用在业务数据分析

业务员销售第1、2、3、年每拜访客户100次，可以销售国际证照考卷的张数公式，如下所示：

斜率是7.5，这个斜率意义是每拜访100次，可以销售750张考卷。每拜访10次可以销售7.5张考卷。

每次拜访销售考卷的成功率是0.75。

每5次拜访销售0张考卷的概率

销售失败的概率 ：

连续5次拜访皆是失败，概率用公式表示：

>>> 0.255 0.000 >>>

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每5次拜访销售1张考卷的概率

拜访5次可以销售1次的机会：

成功销售1张的概率是0.75，在5次拜访中出现1次，相当于是1次方。

销售失败是4次，失败概率是0.25，相当于是4次方。

整个计算结果如下：

讯享网>>> 5*0.75*(1-0.75)4 0.0 >>>

每5次拜访销售2张考卷的概率

拜访5次可以销售2次的机会：

成功销售1张的概率是0.75，在5次拜访中出现2次，相当于是2次方。

销售失败是3次，失败概率是0.25，相当于是3次方。

整个计算结果如下：

>>> 10*0.752*(1-0.75)3 0.0 >>>

每5次拜访销售0~2张考卷的概率

计算销售0~2张考卷的概率，将上述销售0张、销售1张、销售2张的概率结果相加就可以了。

整个计算结果如下：

讯享网>>> 0.000+0.0+0.0 0. >>>

列出拜访5次销售k张考卷的概率通式

拜访5次可以销售k张的机会：

成功销售1张的概率是0.75，在5次拜访中出现k次，是0.75的k次方。

销售失败是5-k次，失败概率是0.25，是0.25的5-k次方。

二项式概率分布Python实践

实践销售0~5张考卷的概率，同时使用直方图绘制此图表。

import matplotlib.pyplot as plt import math def probability(k): num = (math.factorial(n))/(math.factorial(n-k)*math.factorial(k)) pro = num * successk * (1-success)(n-k) return pro n = 5 # 销售次数 # 成功机率 success = 0.75 # 销售成功机率 fail = 1 - success # 销售失败机率 p = [] # 储存成功机率 for k in range(0,n+1): if k == 0: p.append(failn) # 连续n次失败机率 continue if k == n: p.append(successn) # 连续n次成功机率 continue p.append(probability(k)) # 计算其他次成功机率 for i in range(len(p)): print('销售 {} 单位成功机率 {}%'.format(i, p[i]*100)) x = [i for i in range(0, n+1)] # 直方图x轴坐标 width = 0.35 # 直方图宽度 plt.xticks(x) plt.bar(x, p, width, color='g') # 绘制直方图 plt.ylabel('Probability') plt.xlabel('unit:100') plt.title('Binomial Dristribution') plt.show()

执行结果：

讯享网[Running] python -u "c:\Users\a-xiaobodou\OneDrive - Microsoft\Projects\tempCodeRunnerFile.py" 销售 0 单位成功机率 0.0% 销售 1 单位成功机率 1.% 销售 2 单位成功机率 8.% 销售 3 单位成功机率 26.% 销售 4 单位成功机率 39.% 销售 5 单位成功机率 23.% [Done] exited with code=0 in 11.632 seconds

 

修改成功概率是0.35，然后n是10，计算可能销售0~10张考卷的概率，同时用图表列出结果。

import matplotlib.pyplot as plt import math def probability(k): num = (math.factorial(n))/(math.factorial(n-k)*math.factorial(k)) pro = num * successk * (1-success)(n-k) return pro n = 10 # 销售次数 # 成功机率 success = 0.35 # 销售成功机率 fail = 1 - success # 销售失败机率 p = [] # 储存成功机率 for k in range(0,n+1): if k == 0: p.append(failn) # 连续n次失败机率 continue if k == n: p.append(successn) # 连续n次成功机率 continue p.append(probability(k)) # 计算其他次成功机率 for i in range(len(p)): print('销售 {} 单位成功机率 {}%'.format(i, p[i]*100)) x = [i for i in range(0, n+1)] # 直方图x轴坐标 width = 0.35 # 直方图宽度 plt.xticks(x) plt.bar(x, p, width, color='g') # 绘制直方图 plt.ylabel('Probability') plt.xlabel('unit:100') plt.title('Binomial Dristribution') plt.show()

执行结果：

讯享网[Running] python -u "c:\Users\a-xiaobodou\OneDrive - Microsoft\Projects\tempCodeRunnerFile.py" 销售 0 单位成功机率 1.28911% 销售 1 单位成功机率 7.172% 销售 2 单位成功机率 17.5708% 销售 3 单位成功机率 25.5626% 销售 4 单位成功机率 23.9532% 销售 5 单位成功机率 15.031% 销售 6 单位成功机率 6.5779% 销售 7 单位成功机率 2.5624% 销售 8 单位成功机率 0.% 销售 9 单位成功机率 0.071872% 销售 10 单位成功机率 0.0015623% [Done] exited with code=0 in 9.087 seconds