写在前面的话，本博客是我在学习《图像理解理论与方法》5.2.3章节不懂的情况下通过网页查询找到的，感觉不错转载过来。
原网页：http://wiki.swarma.net/index.php/ISING模型 感谢分享！
正文：
1. ISING模型简介
　　可以毫不夸张地说，Ising模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度T_C的时候，Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。
　　
　　由于Ising模型的高度抽象，人们可以很容易地将它应用到其他领域之中。例如，人们将每个小磁针比喻为某个村落中的村民，而将小磁针上、下的两种状态比喻成个体所具备的两种政治观点（例如对A,B两个不同候选人的选举），相邻小磁针之间的相互作用比喻成村民之间观点的影响。环境的温度比喻成每个村民对自己意见不坚持的程度。这样，整个Ising模型就可以建模该村落中不同政治见解的动态演化（即观点动力学opinion dynamics）。在社会科学中，人们已经将Ising模型应用于股票市场、种族隔离、政治选择等不同的问题。另一方面，如果将小磁针比喻成神经元细胞，向上向下的状态比喻成神经元的激活与抑制，小磁针的相互作用比喻成神经元之间的信号传导，那么，Ising模型的变种还可以用来建模神经网络系统，从而搭建可适应环境、不断学习的机器（Hopfield网络或Boltzmann机）。　

ISING模型简史
　　Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来，他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。
　　随后，著名的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的ISING模型进行了解析求解，并同时发现了二维ISING模型中的相变现象，从而引起了更多学者的注意。
之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的“统计场论”

２. 模型表述

考虑一个如下图所示的晶格世界:
网格上的小磁针
　　　　　　　　　
讯享网
　　假设第i个节点是一个小磁针（或者一个村民），每个小磁针有上下两种状态（村民有上,下两种意见），我们用s_i来表示这个状态，并且
　　　　　　　　　　　　　　　
表示磁针朝上或者朝下。网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用。
总能量
　　我们可以通过总能量的概念来刻画这种相互作用：即如果两个相邻方格的小磁针状态一致（例如都是朝上），则系统的总能量减1单位，否则如果不同就加1单位。外界还可能存在磁场，如果小磁针方向与外场方向一致，则能量也会降低。我们定义总能量：
　　　　　　　　　　　　　
　　其中J为一个能量耦合常数， E{ si} 表示系统处于状态组合 { si} 下的总能量。求和下标表示对所有相邻的两个小磁针进行求和。我们看到，如果 si=sj ，则总能量就会减少J。H表示外界磁场的强度,它是一个参数，如果外界磁场向上H为正，否则为负。如果某个小磁针的方向与外场一致，则总能量减少一个单位。

　　例如，假设系统中仅仅有3个小磁针，它们彼此相连（虚线表示构成邻居关系）形成一个三角形，如图：
　　　　　　　　　　
每个小磁针有+1,-1两种可能状态，那么所有的状态组合就包括：

那么这8种状态组合，每一个都对应一个唯一的能量值，它们分别是：


$$
　　系统中小磁针的相互之间以及与外场方向一致的话，则系统的能量就低。所以+1+1+1为能量最小的状态。 沿用村民的比喻来说，系统的能量相当于村民观点存在的冲突的数量。如果两个相邻的村民意见不一致，总冲突数就+1，否则就减1。而外场建模了观点的媒体宣传效应,如果村民的观点与舆论宣传一致，则能量越低，因此也越和谐。
　　
温度
　　但是，系统的演化并不完全由总能量决定。由于小磁针处于噪声环境中，热涨落又会引起小磁针的状态随机反转。我们可以用温度T来衡量这种环境影响的随机性。T越高，则小磁针发生反转的概率就会越大。
　　这样，有两种力作用在小磁针上，一种力来源于小磁针邻居以及外场对它的影响，这种影响倾向于使得相邻的邻居彼此状态一致以及与外场尽量一致，即尽量使得系统的总能量达到最小。另外一种力则来源于环境噪声的扰动，它迫使小磁针无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是，每个小磁针就挣扎于这两种不同的力量之间。不难想象，假如温度T趋于0，则每个小磁针都会与外场相一致，那么，最终系统将处于全是+1或者全是-1的状态（取决于外场H是正还是负）。假如T特别高，而相互作用强度J特别小，则邻居间的作用可以忽略，每个小磁针都完全随机地取值。
　　这样，整个ISING模型就有两个外生给定的参数T,H来表示环境的温度和磁场强度。在村民的比喻中,温度相当于村民进行观点选择的自由程度，温度越高，村民选择观点越随机，而不受自己周围邻居的影响；否则村民的选择严重依赖于邻居和媒体宣传。
　　
３. 蒙特卡罗模拟

具体算法
　　下面我们来讨论Ising模型的计算机模拟。有趣的是，Ising模型的模拟方法与我们熟悉的模拟方法很不同，它并没有为每个小磁针制定状态转变的规则，而是先让每个小磁针的状态发生随机变化，再根据能量来依概率接受这种状态变化。

具体作法是：

　 在每一个仿真周期，模拟程序会根据当前的状态组合 si(t) ，进行小的改进（例如随机翻转某一个小磁针），得到一个新的状态组合 si ’。但是系统下一时刻的状态并不是直接取为该状态组合，而是以概率发生：

si(t+1)=⎧⎩⎨s′isi(t)with probability　μwith probability 1−μ