集合相关公式的证明
公式
{ 1 ） S ∪ T = T ∪ S 2 ） S ∩ T = T ∩ S 3 ） A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C 4 ） A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C 5 ） A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) 6 ） A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 7 ） ( A ∩ B ) C = A C ∪ B C 8 ） ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C \ \begin{cases} 1）S\cup T = T\cup S \\2）S\cap T = T \cap S \\3）A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C \\4）A\cup(B\cup C) = (A\cup B)\cup C \\5）A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\\6）A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\\7）(A\cap B)^{C} = A^C\cup B^C\\8）(A\cup B)^{C} = A^C\cap B^C \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1）S∪T=T∪S2）S∩T=T∩S3）A∩(B∩C)=(A∩B)∩C4）A∪(B∪C)=(A∪B)∪C5）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)7）(A∩B)C=AC∪BC8）(A∪B)C=AC∩BC
证明
1）
1 、 左 ⊂ 右 1、左\subset 右 1、左⊂右
~~~~~ 对 于 ∀ x ∈ ( S ∪ T ) ， 有 x ∈ S 或 x ∈ T 对于∀x\in (S\cup T)，有x\in S或x\in T 对于∀x∈(S∪T)，有x∈S或x∈T
~~~~~ 即 有 对 于 ∀ x ∈ ( S ∪ T ) ， 有 x ∈ T 或 x ∈ S 即有对于∀x\in (S\cup T)，有x\in T或x\in S 即有对于∀x∈(S∪T)，有x∈T或x∈S
~~~~~ 即 有 x ∈ ( T ∪ S ) 即有x\in (T\cup S) 即有x∈(T∪S)
2 、 右 ⊂ 左 2、右\subset 左 2、右⊂左
~~~~~ 对 于 ∀ x ∈ ( T ∪ S ) ， 有 x ∈ T 或 x ∈ S 对于∀x\in (T\cup S)，有x\in T或x\in S 对于∀x∈(T∪S)，有x∈T或x∈S
~~~~~ 即 有 对 于 ∀ x ∈ ( T ∪ S ) ， 有 x ∈ S 或 x ∈ T 即有对于∀x\in (T\cup S)，有x\in S或x\in T 即有对于∀x∈(T∪S)，有x∈S或x∈T
~~~~~ 即 有 x ∈ ( S ∪ T ) 即有x\in (S\cup T) 即有x∈(S∪T)
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2）
1 、 左 ⊂ 右 1、左\subset 右 1、左⊂右
~~~~~ 对 于 ∀ x ∈ ( S ∩ T ) ， 有 x ∈ S 且 x ∈ T 对于∀x\in (S\cap T)，有x\in S且x\in T 对于∀x∈(S∩T)，有x∈S且x∈T
~~~~~ 即 有 对 于 ∀ x ∈ ( S ∩ T ) ， 有 x ∈ T 且 x ∈ S 即有对于∀x\in (S\cap T)，有x\in T且x\in S 即有对于∀x∈(S∩T)，有x∈T且x∈S
~~~~~ 即 有 x ∈ ( T ∩ S ) 即有x\in (T\cap S) 即有x∈(T∩S)
2 、 右 ⊂ 左 2、右\subset 左 2、右⊂左
~~~~~ 对 于 ∀ x ∈ ( T ∩ S ) ， 有 x ∈ T 且 x ∈ S 对于∀x\in (T\cap S)，有x\in T且x\in S 对于∀x∈(T∩S)，有x∈T且x∈S
~~~~~ 即 有 对 于 ∀ x ∈ ( T ∩ S ) ， 有 x ∈ S 且 x ∈ T 即有对于∀x\in (T\cap S)，有x\in S且x\in T 即有对于∀x∈(T∩S)，有x∈S且x∈T
~~~~~ 即 有 x ∈ ( S ∩ T ) 即有x\in (S\cap T) 即有x∈(S∩T)
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5)
利 用 集 合 相 等 的 等 价 条 件 来 证 明 ： 利用集合相等的等价条件来证明： 利用集合相等的等价条件来证明：
1 、 左 ⊂ 右 1、左\subset 右 1、左⊂右
~~~~~ 设 x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) , 则 x ∈ A 或 者 ( ( x ∈ B ) 且 ( x ∈ C ) ) 设~x\in A\cap(B\cup C),则x\in A~或者~((x\in B)且(x\in C)) 设 x∈A∩(B∪C),则x∈A 或者 ((x∈B)且(x∈C))
~~~~~ 故 x ∈ A ∪ B 且 x ∈ A ∪ C 故~x\in A\cup B~且~x\in A\cup C 故 x∈A∪B 且 x∈A∪C
~~~~~ 即 x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 即~x\in (A\cup B)\cap(A\cup C) 即 x∈(A∪B)∩(A∪C)
~~~~~ 即 A ∩ ( B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) 即~A\cap(B\cup C) \subset (A\cap B)\cup (A\cap C) 即 A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C)
2 、 右 ⊂ 左 2、右\subset 左 2、右⊂左
~~~~~ 设 x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , 则 x ∈ A ∪ B 且 x ∈ A ∪ C 设~x\in (A\cap B)\cup (A\cap C),则~x\in A\cup B且x\in A\cup C 设 x∈(A∩B)∪(A∩C),则 x∈A∪B且x∈A∪C
~~~~~ 要 么 x ∈ A , 要 么 ( x ∈ B 且 x ∈ C ) 要么~x\in A,要么(x\in B且x\in C) 要么 x∈A,要么(x∈B且x∈C)
~~~~~ 则 x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) 则~x\in A\cap(B\cup C) 则 x∈A∩(B∪C)
~~~~~ 即 ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ A ∩ ( B ∪ C ) 即 ~(A\cap B)\cup (A\cap C)\subset A\cap(B\cup C) 即 (A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C)
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8）
利 用 集 合 相 等 的 等 价 条 件 来 证 明 利用集合相等的等价条件来证明 利用集合相等的等价条件来证明
1 、 左 ⊂ 右 1、左\subset 右 1、左⊂右
~~~~~ 设 ( A ∪ B ) C , 则 x ∉ ( A ∪ B ) 设(A\cup B)^{C} ,则x\notin (A\cup B) 设(A∪B)C,则x∈/(A∪B)
~~~~~ 故 x ∉ A 且 x ∉ B 故~x\notin A~且~x\notin B 故 x∈/A 且 x∈/B
~~~~~ 即 x ∈ A C ∩ B C 即~x\in A^C\cap B^C 即 x∈AC∩BC
~~~~~ 即 ( A ∪ B ) C ⊂ x ∈ A C ∩ B C 即~(A\cup B)^{C}\subset x\in A^C\cap B^C 即 (A∪B)C⊂x∈AC∩BC
2 、 右 ⊂ 左 2、右\subset 左 2、右⊂左
~~~~~ 设 x ∈ A C ∩ B C , 则 x ∉ A 且 x ∉ B 设x\in A^C\cap B^C,则x\notin A~且~x\notin B 设x∈AC∩BC,则x∈/A 且 x∈/B
~~~~~ 故 x ∉ ( A ∪ B ) 故x\notin (A\cup B) 故x∈/(A∪B)
~~~~~ 即 ( A ∪ B ) C 即~(A\cup B)^{C} 即 (A∪B)C
~~~~~ 即 A C ∩ B C ⊂ ( A ∪ B ) C 即A^C\cap B^C\subset (A\cup B)^{C} 即AC∩BC⊂(A∪B)C
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