在前文《Szegő曲线：三角函数的零点都是实数吗？(二)》中,我曾提到sin(x)的“真零点“在总零点数的占比为2/(πe)≈23%，在原文献中,作者用上下夹逼的方法得到这一结果。由于该结论相当优雅，因以我致力于找出一种直观解释，在本文中，我将通过Szegö曲线的联系使(πe)的出现更为直观。首先贴出图像快速进入主题，其中符号的定义将在下一章进行。
首先，我们应对于题目中的各概念进行定义。
定义1.各函数及其展开式的记号
定义2. f(z)的归一化幂级数展开
对f(x)的幂级数展开进行归一化（Normalization），
其中的m为归一化系数。m的选择需要使得化为m，n无关的形式。
定义3.
定义5.
设z是f(z)的零点，z是f(z)的零点，r为一小正数。当圆盘|z-z|<r中存在z时，称z是f(z)的真零点。
由Hurwitz‘s theorem：“设{f}是连通开集G上的一系列全纯函数，其在G的任一紧子集上都一致收敛到全纯函数f，且f在G上不恒为零。若f在z处有m阶零点，则对在一足够小的r>0以及足够大的k∈N（k取决于r)，fk在|z-z|<r内恰有m（计重数）个零点，且这些零点随k→+∞时收敛到z“
我们认识到有一些f的零点将收敛为f的零点，然而由于多项式中零点是“全同的”，我们很难说最终收敛的是哪几个零点。因此出可计算的需求，我们作出上述定义，然而在实际计算时可能使用便于计算的其他计数方式。
定义6.真零点比
已知，根据引言中图可推测
已知Expz-1的零点具有以下形式：
因此零点曲线
接下来证明
由于函数在虚轴表现为三角函数，具有波动性，幂级数展开后可能会多一至两个零点。然而只要增加的零点是有限个，就完全不影响极限的收敛性。
当a为一有限实数时，本命题可以很大程度借用上一节的过程。如：
对于这两节的内容进行总结，由于幂级数零点曲线的归一化操作会使有限大的零点，被拉向0+0i，以致于在n趋于无穷时将呈现为一条直线的形式，这种特性极大地方便了计算。基于该特性，我们可以发展出密度法估计零点比：
m为n
注意到当|a|<1时，零点可分为两个子列
并且若在统计中由于浮点数的舍入出现了k个统计误差，易知当k有限时不影响真零点比的收敛性。最终有
画出a=0时的图像可以验证结论。
Cosz具有和Sinz相似的结论，在此不作证明地给出重要结论以供参考，供读者练习。
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