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 <p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F2c52f4eej00slfq3n001zd000o3008um.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO6VT">Y6～Y12都是响应变量，X1和X2是自变量（因子）。下面，我们通过这些响应变量和自变量形成的回归方程关系，以及等值线图和曲面图来理解曲面设计。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fccbeea7aj00slfq3n0020d000o500d5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO6VV">对Y6拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F11dde3b5j00slfq3n000ud000mh00dxm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F236b740dj00slfq3n001wd000o500l8m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO703">Regression Equation in Uncoded Units</p><p id="33JRO704">Y6 = 100.0 + 10.00 X1 + 5.000 X2 - 0.000000 X1*X1 - 0.000000 X2*X2 + 0.000000 X1*X2</p><p id="33JRO705">方程不含二次项（平方项和交互项），是二元一次方程（线性方程）。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F480d1669j00slfq3n002ad000o500egm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO707">对Y6绘制等值线图。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fa36f5ff1j00slfq3n000xd000hs00h3m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fa7f58584j00slfq3n000td000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70B">因为是线性回归关系，所以等值线图的等值线是平行直线（没有弯曲），即没有二次项，线性关系。</p><p id="33JRO70C">最大值在右上角，最小值在右下角，但都没有封口，所以可以说没有最大值和最小值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fc9bbdb69j00slfq3n002fd000o500f1m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70E">对Y6绘制曲面图。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F5e1256aaj00slfq3n000ud000hp00fhm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fe9a00f1fj00slfq3n000pd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70I">因为是线性回归关系，所以曲面图是一个平面（没有曲面），即没有二次项，线性关系。</p><p id="33JRO70J">最大值在右上角，最小值在右下角，但都可以再延申，所以可以说没有最大值和最小值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F54b39b3aj00slfq3n000ud000me00dxm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70L">对Y7拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fb95a4e44j00slfq3n001wd000nz00lqm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70N">方程不含平方项，含交互项，是二次方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fc6j00slfq3n000td000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70P">因为是二次回归关系（但不含平方项），所以等值线图的等值线是略微有弯曲（因为不含平方项，所以弯曲不严重），即非线性关系。</p><p id="33JRO70Q">最大值在右上角，最小值在右边，但都没有封口，所以不一定有极值存在。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F639bc720j00slfq3n000pd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70S">因为是二次回归关系（但不含平方项），所以曲面图略有曲面（非平面），即非线性关系。</p><p id="33JRO70T">最大值在右上角，最小值在右下角，但都可以再延申，所以不一定有极值存在。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fd22467bfj00slfq3n000td000mf00e2m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO70V">对Y8拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fe7f6aebdj00slfq3n001wd000o500l8m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO711">方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号，开口朝下，有极大值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F7fd4be64j00slfq3n000vd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO713">等值线图显示，山顶，全封闭。中间深色是“大于96”，即山峰。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐降低，即山脊。有极大值。</p><p id="33JRO714">方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号，开口朝下，有极大值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F60f057eej00slfq3n000pd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO716">曲面图对照等值线图是一致的。中间突起（曲面）。有极大值。</p><p id="33JRO717">方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号，开口朝下，有极大值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F7b3e9c87j00slfq3n000td000me00dvm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO719">对Y9拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fba684df2j00slfq3n002ad000ly00mlm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71B">方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“+”号，开口朝上，有极小值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F4e0393abj00slfq3n0010d000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71D">等值线图显示，山顶，全封闭。中间深色是“小于102”，即山谷。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐升高，即山脊。有极小值。</p><p id="33JRO71E">方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“+”号，开口朝上，有极小值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F7cj00slfq3n000qd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71G">曲面图对照等值线图是一致的。中间凹下（曲面）。有极小值。</p><p id="33JRO71H">方程不含一次项、交互项。含平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“+”号，开口朝上，有极小值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fcff1ff47j00slfq3n000ud000mi00dym.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71J">对Y10拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F0bdb7581j00slfq3n001vd000mq00lvm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71L">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。</p><p id="33JRO71M">b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。</p><p id="33JRO71N">b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F388fb691j00slfq3n000ud000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71P">等值线图显示，山顶，不封闭。中间深色是“大于100”，即山峰。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐降低，即山脊。可能有极大值。</p><p id="33JRO71Q">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。</p><p id="33JRO71R">b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F68a9a2e2j00slfq3n000qd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO71T">曲面图对照等值线图是一致的。中间向左上方突起（曲面），还可以延申，可能有极大值。</p><p id="33JRO71U">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。</p><p id="33JRO71V">b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F1b8ef51dj00slfq3n000ud000mh00dxm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO721">对Y11拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fd07f7d28j00slfq3n001vd000mn00m1m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO723">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。</p><p id="33JRO724">b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。</p><p id="33JRO725">b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Faj00slfq3n000ud000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO727">等值线图显示，山顶，封闭。中间深色是“大于100”，即山峰。四周每圈逐渐淡色，数值逐渐降低，即山脊。有极大值（因为封闭）。</p><p id="33JRO728">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。</p><p id="33JRO729">b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fde1aaa95j00slfq3n000pd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO72B">曲面图对照等值线图是一致的。中间向上突起（曲面），有极大值。</p><p id="33JRO72C">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号一致，都是“—”号。开口朝下，但不封口，可能有极大值。</p><p id="33JRO72D">b2-4ac=（-15）2-4×(-5)×(-15)=225-300=-75＜0,有极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fb036946cj00slfq3n000vd000mf00dvm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO72F">对Y12拟合回归方程。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fcj00slfq3n001vd000n100m6m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO72H">方程含一次项、交互项、平方项，是二次方程。平方项的符号不致，有“+和-”号。马鞍型。</p><p id="33JRO72I">b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。</p><p id="33JRO72J">b2-4ac=（-30）2-4×(-2)×12=900+96=996＞0,无极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2F5e1dddccj00slfq3n000xd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO72L">上下两头绿**域是凸起部分（极大值区域），两边绿色部分是凹陷部分（极小值区域）。马鞍型。但不封口，可能有极值。</p><p id="33JRO72M">b2-4ac=（-30）2-4×(-2)×12=900+96=996＞0,无极值。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1016%2Fc5f14875j00slfq3n000qd000o500g5m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="33JRO72O">上下两头区域是凸起部分（极大值区域），两边部分是凹陷部分（极小值区域）。马鞍型。但可延申，可能有极值。</p><p id="33JRO72P">b2-4ac=（-30）2-4×(-2)×12=900+96=996＞0,无极值。</p><p id="33JRO72Q"><strong>总结：</strong></p><p><ol><li id="33JRO72S">1.没有二次项，变线性。</li><li id="33JRO72T">2.二次项（平方项）系数方向一致。如果都为正，开口朝上，山谷型，有极小值。如果都为负，开口朝下，有极大值。</li><li id="33JRO72U">3.不一定有极值存在。</li></ol></p><p id="33JRO72R">b2-4ac＜0,一定有极值（b2-4ac≥0，一定没有极值）。a和c反号，b2-4ac＞0，肯定没有极值。要想b2-4ac＜0,则a和c必需同号才有可能。</p>