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 solve, vpasolve, fsolve, fzero, roots等matlab函数的用法详解 </p><p><strong>MATLAB函数 solve, vpasolve, fsolve, fzero, roots 功能和信息概览</strong></p><p>&nbsp;</p><p>&nbsp;　　也就是说，之前写了几篇关于非线性求解的，如二分法、牛顿法（参见二分法、不动点迭代、牛顿法）、二次反插法（参见插值法），只有一个库函数用了类似的方法。</p><p><strong>各函数用法详解</strong></p><p><strong>1. (符号/数值)解方程(组)函数 solve</strong></p><p>　　官方参考页：Equations and systems solver - MATLAB solve</p><p>　　solve 是基本的用于符号解方程的内置函数，返回类型为符号变量矩阵($m imes n$ sym)。当无法符号求解时，抛出警告并输出一个数值解。基本形式为：</p><div></div><p>　　可以用solve解一维方程。对于多项式，solve可以返回其所有值。</p><div></div><p>　　对于不可符号求解的函数零点/方程解，solve抛出警告并返回一个数值解：</p><div></div><p>format long</p><p>　　solve也可以求解方程组，此时输入的表达式epn和变量var为行向量（亲测列向量不可用）：</p><div></div><p>　　可以看出，当solve给出符号解的时候，它是不会化简计算的。任何matlab的符号计算，包括四则运算、求导积分，都不具备化简/数值计算的功能。</p><p>　　此外，solve函数还有一些选项可选，这使得符号求解名副其实，这才是solve的强大之处。运用solve函数，Name设定为'ReturnConditions'，其值设定为true，表示要求solve函数输出详细信息。用这个方法我们可以得出一族解：</p><div></div><p>　　而一般地，对于多变量的多项式（组），当多项式数量不足以确定所有参数时，按照以上设定，solve函数可以解出几个变量关于其他变量的函数：</p><div></div><p>assume</p><p>&nbsp;</p><p><strong>2. 多初值的数值解方程(组)函数 vpasolve</strong></p><p>　　官方参考页：Solve equations numerically - MATLAB vpasolve</p><p>符号型数值标量/向量（即以数值的形式显示但实际上还是符号变量）。它的基本使用方式是：</p><div></div><p>　　它的输入、功能和输出都和solve相仿。方程组的输入同样为行向量，变量组的输入也一样。</p><p>　　当输入一个可以定解的多项式方程（组）时，vpasolve将会直接给出方程的数值解；若多项式方程数量不足以确定所有的解，那么vpasolve将会给出以剩余变量表示的所求变量的函数，只是表达式的一部分（系数等）可能会以数值的形式呈现。注意，有理分式方程将会多项式化以后一样处理。对于这些方程，init_guess的值写了也没用。</p><div></div><p>　　对于多元方程组，vpasolve的输出也是struct结构体，访问方法也和solve输出的struct一样。不同的是，vpasolve无法求出含参的解，即无法设定'ReturnConditions'选项。和solve类似，除了多项式方程和有理分式方程以外的任何方程，vpasolve都不会给出全部解。这样一看，似乎vpasolve只不过就是把solve的结果全部转化为数值形式，甚至许多solve的功能都不能满足。这样的想法当然不对，vpasolve也有其自身的优势，这来源于：</p><p>　　A）可以设置初值进行数值求解。对于不可符号求解的方程，solve因为没有设定初值，可能无法搜索到合适的解。vpasolve则可以设置初值，从而可以进行后续解的搜索；B）可以随机取初值。我们都知道求解方程和最优化问题的初值选取非常玄学，而同样的初值最多只能有一个解。而结合循环等控制语句，利用vpasolve的随机初值功能可以让这一过程变得比较简单。比如可以写作初等函数的半整数阶Bessel(贝塞尔)函数，其零点有无穷多，但无法通过符号方法求解，在solve中会遇到很大的问题，但是用vpasolve设置合适的初值可以得到许多组临近初值的解。比如：</p><div></div><p>&nbsp;　　另外，一些有限个解的方程，比如 $atanx=x/2$ ，我们已经知道它有解0，根据画图还可以确定在x&gt;0和x&lt;0范围内各有一个解。根据atanx的性质，我们知道所有的解肯定在区间[-5,5]之中。如果使用solve，每次均有警告并且输出一样，无法获得三个不同的解；即使是之后讲的fsolve也需要每次给定初始估计(init guess）。对于vpasolve，当确定范围了以后可以简单地使用循环的控制语句，只需要规定随机撒点的区间为[-5,5]：</p><div></div><p>　　输出结果：</p><div></div><p>　　很轻松地得到了该方程的全部解而不用再去手动猜测了。</p><p>&nbsp;</p><p><strong>3. 数值解方程(组)函数 fsolve</strong></p><p>　　官方参考页：Solve system of nonlinear equations -&nbsp;&nbsp;MATLAB fsolve</p><p>&nbsp;　　fsolve可能是目前matlab的内置库函数中最常用的求（非线性）方程（组）解的函数，也是最为人熟知的。它用于数值求解方程（组），具有较广的适用范围（适用于高维和非线性、非多项式情形），甚至可以求矩阵方程的解（即甚至可以求解未知量为矩阵的情景）。fsolve函数的基本形式是：</p><div></div><p>　　比如参考页面给出的示例非线性方程组：$$e^{-e^{x_1+x_2}}-x_2(1+x_1^2)=0$$ $$x_1cos(x_2)+x_2sin(x_1)=frac{1}{2}$$　　这是一个迷一般的方程组，嵌套的自然指数让人十分混乱，我们也并不期望得到这个方程的符号解或者解析解。我们将该方程组转化为matlab函数句柄：</p><div></div><p>　　然后调用fsolve对于函数func进行求解，输出一个求解消息和解solution：</p><div></div><p>　　需要注意的是，fsolve输入的函数句柄func<strong>只接受一个变量</strong>！fsolve可用于高维的情形，如例子中的二维，是通过将函数句柄的输入转化为向量实现的，即func接受一个向量形式的变量。对于创建一个输入参数为向量的函数句柄，简单地采用@方法似乎是行不通的。以上采用的方法是利用函数matlabFunction，定义变量('Var')为向量[x(1),x(2)]，从而将符号变量f转化为函数句柄func。另一种可能更加普适（但更加麻烦）的方法参见官方参考页的示例或者matlab中函数fsolve的help文档，通过定义一个函数文件来实现这一操作（函数function文件和函数句柄是等价的）。</p><p>　　函数fsolve提供了一些可以作为输出设置的options选项。options的设置如下：</p><div></div><p>　　现在，尝试使用'iter'和'@optimplotfirstorderopt选项：</p><div></div><p>　　<br></p><p style="text-align:center;"><img src='https://s2.51cto.com/images/blog//0_6573dea43a24c72138.png?x-oss-process=image/watermark,size_16,text_QDUxQ1RP5Y2a5a6i,color_FFFFFF,t_30,g_se,x_10,y_10,shadow_20,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk=/resize,m_fixed,w_1184' alt='matlab的fsolve和Python的fsolve matlab fsolve()函数和solve_句柄' style="width: 483px; visibility: visible;"></p><p>　　输出内容中，iteration为迭代次数，func-count为函数的总调用次数，f(x)为函数值的一个性质（暂时还没搞清楚是啥，毕竟二维映射不可能只有一个值），Norm of step应当是迭代步长（相邻迭代点间隔）的范数（模长），first order optimality 一阶优化条件，最终迭代是否终止的判据就是一阶优化条件是否足够接近零。绘图可以看出，随着迭代的进行，一阶优化条件趋于零。</p><p>　　理论上，fsolve函数还允许指定求解的算法，比如使用单纯信赖域，或者使用狗腿信赖域，或者使用Levenberg-Marquardt算法。但总而言之，fsolve的算法均属优化算法，也因此在这里不足以讨论完全，留待优化部分的笔记说明。</p><p>&nbsp;</p><p><strong>4. 数值求一维函数零点函数 fzero</strong></p><p>　　官方参考页：非线性函数的根 - MATLAB fzero</p><p>　　fzero用于求函数零点。这个函数<strong>致力于求解一维函数的零点</strong>。其基本形式：</p><div></div><p>　　fzero在应用上最令人高兴的是其丰富的输出内容，有利于观察迭代的结果，这用到options控制。options的控制方法为：</p><div></div><p>　　然后将options变量带入函数即可。具体可以参见参考页，在此举两个例子，比如希望输出迭代的每一步：</p><div></div><p>　　则有输出（节选）：</p><div></div><p>　　从中，我们可以看到每一步的x变化，f(x)的取值，甚至每一次迭代执行的操作：是二分法(bisection)或者插值类方法(interpolation)。我们还可以将迭代步骤可视化：</p><div></div><p>　　输出图片：</p><p style="text-align:center;"><img src='https://s2.51cto.com/images/blog//0_6573dea.png?x-oss-process=image/watermark,size_16,text_QDUxQ1RP5Y2a5a6i,color_FFFFFF,t_30,g_se,x_10,y_10,shadow_20,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk=/resize,m_fixed,w_1184' alt='matlab的fsolve和Python的fsolve matlab fsolve()函数和solve_命令行_02' style="width: 505px; visibility: visible;"></p><p>&nbsp;</p><p><strong>5. 数值求多项式零点函数 roots</strong></p><p>　　官方参考页：多项式根 - MATLAB roots</p><p>　　除了求多项式根啥也干不了的一个函数，输入也和其他求根函数迥异。roots的标准形式如下，输入一个行向量，返回一个double型的列向量：</p><div></div><p>&nbsp;</p><p>　　roots也不是一无是处。相比于fzero和fsolve这样的函数，roots可以给出多项式的所有解，包括实数解和复数解：</p><div></div><p>　　</p><p>&nbsp;</p><p> <br></p><p> <br></p>