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2025年sigmoid函数求导过程（sigmoid导函数图像）

科技前沿 • • 阅读 38

sigmoid函数求导过程（sigmoid导函数图像）作为一门受众为高中生的数学课程 AP 微积分知识点知识点基本覆盖了大学数学课程中的 Calculus I 和 Calculus II 但 AP 微积分考纲中也删去了一些大学微积分会学到的知识 而一些老师在学校教学活动中会讲解这些内容 我在多年的教学辅导中发现 很多来自美高或是国际学校的学生在校内课堂中一般会学到以下几个不在 AP 考纲内的知识 Logarithmic Differentiat

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作为一门受众为高中生的数学课程，AP微积分知识点知识点基本覆盖了大学数学课程中的Calculus I和Calculus II。但AP微积分考纲中也删去了一些大学微积分会学到的知识，而一些老师在学校教学活动中会讲解这些内容。我在多年的教学辅导中发现， 很多来自美高或是国际学校的学生在校内课堂中一般会学到以下几个不在AP考纲内的知识：Logarithmic Differentiation，Newton’s Method，Differentials，Simpson’s Rule,  Shell Method，Root Test。

从本文开始，我将详细介绍上述知识点，希望本系列文章可以帮助到各位正在学习AP微积分的同学，让大家可以同时兼顾学校GPA和AP大考。


Logarithmic Differentiation
（对数求导）

 
对于已经掌握基本求导法则的同学来说，乘积法则（product rule）和商法则（quotient rule）应该是熟悉的概念。在求两个函数乘积或商的导数时，可以使用这两个法则进行计算。

但如果我们此时遇到了这样一个函数，想直接利用现有的求导法则就没那么简单了。


等号右边包含了三部分相乘，要是想直接利用乘积法则就需要先把其中一个括号乘开，然后再利用乘积法则计算。这显然不是一个好办法，过程繁琐且易出错。

那么，面对这样复杂的情况该怎么办呢？如何能在不使用乘积法则的情况下计算出这个函数的导数呢？

对数是一个较好的选择，它能让指数变成乘法，让乘法变成加法，让除法变成减法，从而简化求导过程 。


那我们也完全可以对刚才的函数等号两边同时取对数，把乘法变成加法。


取以e为底的对数只是为了在下一步求导时好计算，因为 取以其它常数为底数的对数也不影响最终结果。接下来，我们对取完对数的式子进行隐函数求导的计算（implicit differentiation），可以得到：



我们的目的是求出 在等式两端同时乘以y，便可以得到：


最后再用最开始的函数表达式 替换掉y，可以得到最终答案:


通过logarithmic differentiation，我们可以较快地求出连乘（除）形式函数的导数， 具体步骤可以概括为以下三点：

1. 对函数的等号两端同时取以 为底的对数，并利用对数计算性质对等号右边进行展开；
2. 对等式两端同时关于 进行隐函数求导；

3. 解出 并利用原函数的表达式替换掉 。
此外，我们 还可以利用logarithmic differentiation来计算那些底数和指数均为变量的复合函数的导数 。这类函数既具有指数函数的特征，又具有对数函数的特征。

举一个简单的例子，我现在有一个函数 , 我想计算它的导数，但此时我们无法直接使用指数函数或者对数函数的求导公式。 利用logarithmic differentiation，可以较为便捷地得到这个函数的导数表达式:



Newton’s Method
（牛顿法）

 
已经学到微分应用同学应该对linear approximation这一知识点并不陌生， 它本质上是用函数在某一点处的切线来近似其附近某点的函数值 。


但切线的作用远不止于此，它还可以帮助我们近似得到函数的零点，比如我们现在有一个函数 , 我想找到它的正零点，需要求出 时的 正值。 现在我们动动计算器就可以得到 但在计算器发明之前，人们如何能求出 的近似值呢？

Newton‘s method 的策略如下:

第一步: 任选一个值，把它命名为 , 为了计算方便，我在此处令 ,然后写出函数在处的切线方程， 。接下来再找到这个切线与轴的交点


第二步： 接下来把第一步求出的值1.5命名为 。然后然后写出函数在 处的切线方程， 。接下来接再找到这个切线与轴的交点约为


第三步：再把第二步求出的值1.41667命名为 。然后然后写出函数在 处的切线方程， 。接下来接再找到这个切线与轴的交点约为


继续重复上述计算流程可以让结果更加精确 ，如果我们想简化这一计算流程，则可以推导出一个一般化的公式。假设我们写出了任意函数在 处的切线方程 接下来令 找到它和轴的交点：


上式中的即我们用在处的切线所近似出的零点，我们让它等于 便可以让这一估值过程重复下去，由此可得出Newton’s Method的一般流程：



求解函数零点的近似值只是Newton’s Method的其中一个应用，它在计算机科学、工程、金融等领域还有着更广泛的应用。

鉴于篇幅所限，我将在接下来的系列文章中继续分享剩余的几个知识点，包括Simpson Rule， Differentials， Shell Method，Root Test，敬请关注。


本文作者

 




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