随着加速器和探测器的发展，人们得以更深入地研究质子的内部结构，通过高能的 散射打靶实验和粒子对撞实验，以获得关于质子内部的更多信息。人们使用电子撞击质 子，以洞悉质子内部的结构。当碰撞能量较低时，此时发生的是电子-质子弹性散射，这不足以使质子进入能量较高的激发态甚至将质子撞碎。当电子散射转移的能动量提高， 质子可能进入一系列激发态，测量末态强子的不变质量谱会发现一系列共振峰结构，此 时的反应是非弹性散射。而当散射的能动量转移进一步提高，质子将碎裂成大量强子， 强子的不变质量谱上已经没有峰结构，随之观察到连续的平滑曲线，这时的散射称为电子-质子深度非弹性散射(Deep Inelastic Scattering, DIS)，如图1.3所示。

图 1.3: 深度非弹性散射的过程。

DIS 过程中动量转移 Q^2 = −q^2 很大，根据海森堡不确定性原理，此时电子作为探 针的分辨率很高，因此可以探测质子的内部结构。在深度非弹性散射连续区，散射截面写作 [11]:

其中，Ω 是相空间参数，α 是精细结构参数，E 是电子的入射能量，而 E′ 是电子的出射能量，θ 为散射角，ν = E − E′ 是电子散射过程的能量损失。W_1,2(ν, Q^2) 称为质子的 结构因子或结构函数。

20 世纪 70 年代初，美国斯坦福直线加速器中心 SLAC 的物理学家进行了一系列 的轻子-核子(eN 和 vN)深度非弹性散射实验，发现质子内部有定域的散射中心 [12]。 并且强子的结构函数具有 Bjorken 标度无关性(Bjorken scaling)[13]，即当 Q^2 与 v 都很大时，结构函数 W_1,2(ν, Q^2) 不再同时是 Q^2 与 ν 的函数，而只是经过重新标度后单 一变量 x = Q^2/2Mν 的函数，即 Bjorken-x。此时可以将结构函数写作:

上式中 e_i 是味道为 i 的部分子的电荷，f_i(x) 也就是部分子分布函数(Parton Distribution Function, PDF)。上式说明部分子模型中质子的结构函数只是标度无关变量 x 的函数。 而且结构函数 F_1(x) 和 F_2(x) 具有关系 xF_1(x) = F_2(x)，称之 Gallan-Gross 关系 [16]。

图1.4给出了近 30 年实验中测定的质子结构函数 F2 随 Bjorken-x 和动量转移 Q_2 变化的曲线 [14]。尽管 Q_2 有六个数量级的变化，在大 x 区间 F_2 基本与 Q_2 无关。而这种标度无关性意味着入射虚光子是与质子内的类点粒子发生了散射。

图 1.4: 质子结构函数 F_2(x, Q) 的实验测量结果 [14]。

为解释这些结果，Feynman 提出了关于质子的部分子模型 [15]:假设质子是由大量 点状(point-like)的自旋为 1/2 的部分子(parton)组成，在质子动量 p 趋于无穷大的 坐标系中，每一个部分子带有的纵动量是质子动量的 x_i 倍，p_i = x_i p 。这里的 x 正是 Bjorken-x，因此 x 也表示质子中部分子携带质子纵动量的分数。

部分子在深度非弹性散射过程中是近似自由的，所以电子与质子之间的散射可以等效于电子与部分子散射过程的叠加。设第 i 个部分子在动量分数区间 x → x + dx 内 的几率为 f_i(x)，则质子的结构函数可以写成:

电子-质子 DIS 实验显示质子是自旋 1/2 的部分子组成，而在夸克模型的描述下所有强子包括质子都是由夸克构成。我们将部分子等同于夸克，称为夸克-部分子模型。如重子八重态，夸克模型中质子是由三个夸克构成，而部分子模型的描述中质子内的部分子数量没有限制。为将这两个模型统一起来，我们将质子视为这样的构成，即质子中除了如质子 uud 和中子 udd 显示其“特性”的夸克外，还包括大量不断产生和湮灭的正反夸克对(uu ̄, dd, ss ̄, cc ̄, bb)并通过胶子(g)传递着相互作用。我们将标志质 子特性的夸克如 uud 和 udd 称为价夸克(valence quarks)，而不断产生和湮灭的正反夸克对称为海夸克(sea quark)。由于海夸克是通过量子涨落才出现，只有在高能电子轰击质子才能感受到海夸克的存在。

量子色动力学理论建立起来后，很快被应用到深度非弹性散射过程以检验 QCD 能 否给出 Bjorken 标度无关性。但在 QCD 理论描述下夸克会辐射胶子，因此 Bjorken 标 度无关性会被轻微破坏，破坏以对数形式呈现 [18, 19]。当 Q_2 增加时辐射的胶子又会分 裂为正反夸克对，造成初始夸克动量分布的软化和正反夸克对的增加，x 越小(Q_2 越大)，这种过程越强。因此在 QCD 理论中，标度无关性只是个粗略的规律。标度无关 性的对数形式破坏被 μ-质子深度非弹性散射实验所证实 [20, 21]。这是 QCD 理论的一个强有力的支持，几十年来 QCD 理论经受了大量的实验检验，尤其是在微扰能区，理论预言与实验结果有很好的吻合。在 QCD 框架下，对 Q2 ≫ M2，结构函数 F_i 可以表示为 [22]:

这里 f_a 是部分子分布函数，a 代表夸克或者胶子，C_i^2 是 α_s 展开的幂级数。f_a 随标 度 Q^2 的演化可用 DGLAP 方程描述，而求解这个方程需要初始条件，但这个条件是 非微扰(α_s ≥ 1)的，目前只能通过实验测定。有了初始 PDF，通过解方程，QCD 就 可以预言 PDF 随 Q^2 的变化，并给出在其他任何标度下的值。然而单举的深度非弹性 散射实验无法分离出不同味道夸克的贡献。由于被击中的不同味道夸克对碎裂成末态 强子的倾向性不同，因此在观测到散射轻子的基础上再探测到一个特定末态强子的过 程，即半单举深度非弹性散射(Semi-inclusive DIS, SIDIS)可以对不同味道部分子的 分布函数做出区分。在强子产生过程中部分子会发生碎裂，这种强子化过程由碎裂函数(fragmentation functions)D(z) 描述。碎裂函数与分布函数可以看作一种镜像关系。它 描述了部分子碎裂形成携带其动量分数为 z 的强子概率。

目前国际上有多个参数化组对质子和中子的部分子分布函数做了抽取，图1.5展示 了 NNPDF 组通过整体参数化在两个不同标度下给出的质子非极化部分子分布函数 [14]，左图是在标度 Q^2 = 10 GeV^2 下的结果，右图是在标度 Q^2 = 10^4 GeV^2 下的结果。 图中胶子部分为了方便比较是缩小 10 倍的结果，说明在大能标 Q^2 区间胶子的比例非 常高，并且胶子与海夸克的比例会随着 x 的减小而急剧升高，因为此时质子内的部分 子会更容易产生小 x 的胶子，同时胶子也更容易产生以正反夸克对形式的海夸克。

图 1.5: 在 μ^2 = 10, 10^4 GeV2 时，NNPDF3.0 整体参数化给出的质子非极化部分子分布 函数(胶子的分布函数乘上了一个 0.1 的因子)[17]。

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参考文献

[11] 杜东升 and 杨茂志. 粒子物理导论. 科学出版社, 2015.

[12] E. E. Chambers and R. Hofstadter. “Structure of the Proton”. In: Phys. Rev. 103 (1956), pp. 1454–1463. 

[13] J. D. Bjorken. “Asymptotic Sum Rules at Infinite Momentum”. In: Phys. Rev. 179 (1969), pp. 1547–1553. 

[14] R. L. Workman et al. “Review of Particle Physics”. In: PTEP 2022 (2022), p. 083C01. 

[15] R. P. Feynman. “Very high-energy collisions of hadrons”. In: Phys. Rev. Lett. 23 (1969). Ed. by L. M. Brown, pp. 1415–1417. 

[16] Curtis G. Callan Jr. and David J. Gross. “High-energy electroproduction and the constitution of the electric current”. In: Phys. Rev. Lett. 22 (1969), pp. 156–159. 

[17] L. A. Harland-Lang et al. “Parton distributions in the LHC era: MMHT 2014 PDFs”. In: Eur. Phys. J. C 75.5 (2015), p. 204. 

[18] D. J. Gross and F. Wilczek. “Asymptotically Free Gauge Theories - I”. In: Phys. Rev. D 8 (1973), pp. 3633–3652. 

[19] D. J. Gross and F. Wilczek. “ASYMPTOTICALLY FREE GAUGE THEORIES. 2.” In: Phys. Rev. D 9 (1974), pp. 980–993. 

[20] Y. Watanabe et al. “Test of Scale Invariance in Ratios of Muon Scattering Cross- Sections at 150-GeV and 56-GeV”. In: Phys. Rev. Lett. 35 (1975), p. 898. 

[21] C. Chang et al. “Observed Deviations from Scale Invariance in High-Energy Muon Scattering”. In: Phys. Rev. Lett. 35 (1975), p. 901.

[22] J. C. Collins. “Proof of factorization for diffractive hard scattering”. In: Phys. Rev. D 57 (1998). [Erratum: Phys.Rev.D 61, 019902 (2000)], pp. 3051–3056.