转自 数据派THU

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•  是投资的预期收益
•  是无风险收益率(没有财务损失风险的投资收益)
• 是投资的贝塔系数（衡量投资收益相对于市场收益的预期变动程度）
•  是市场的预期收益
• 被称为市场溢价（高于无风险利率的市场预期超额收益）。

1. 纳入先验知识：贝叶斯学家可以通过对参数设置先验来量化任何先验知识或信念。例如，如果我们认为   很可能很小，我们就可以选择一个先验分布，其中为较小的值赋予更高的概率。
2. 不确定性量化：贝叶斯方法提供的是完整的后验分布，而不是对 β 的单一估计，它捕捉了不同值   的不同可信度，如果具体实际数据有限，  的不确定性会很高，导致后验分布很宽。

资产收益 = 截距 + 斜率 × 市场超额收益 + ϵ

• 在 CAPM 中，截距通常设为 0，因为截距代表的是与市场回报无关的资产预期回报，在对无风险利率进行调整后，市场回报通常被认为是零。
• 斜率与传统 CAPM 公式中的   相对应，表示市场收益率发生单位变化时，资产收益率的变化程度。
• ϵ 代表误差项或残差，表示观察到的回报与模型预测的回报之间的偏差。

•  “参数（误差项的标准差）的先验值为半考奇先验值（Half-Cauchy Prior），这是贝叶斯模型中方差参数的常见选择，因为它的尾部较重，允许有较大范围的可能值。
• 截距的先验值是以 0 为中心的正态先验值，标准差较大（本例中为 20），表达了对其值的不确定性，但也认识到在对无风险利率进行调整后，其值可能较小或为零。
• 斜率（或  ）也是以 0 为中心的正态先验值，具有较大的标准差，反映了其不确定性，但允许数据告知其可能的值。

• 似然函数说明我们认为数据是如何产生的。在这种情况下，资产超额收益被模拟为围绕均值的正态分布，而均值是市场超额收益的线性函数，“sigma”描述了围绕该均值的资产收益的变异性。

• 该模型使用观察到的数据（市场超额收益和资产超额收益）来更新我们对参数（截距、斜率和 sigma）的信念。马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）等采样方法用于近似这些参数的后验分布。

 
  
   
   
 
   
    
    
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
    
 
   
    
    
讯享网import pymc3 as pm import arviz as azimport numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(42) # 随机种子size = 200 R_f = 0.02 # 无风险收益率 E_R_m = 0.1 # 市场的预期收益beta = 1.5 # 投资的贝塔系数 sigma = 0.05 # 残差  # 生成市场收益 正态分布 E_R_m_samples = np.random.normal(E_R_m, sigma, size)  # 计算投资收益 CAPM epsilon = np.random.normal(0, sigma, size) # Noise E_R_i_samples = R_f + beta * (E_R_m_samples - R_f) + epsilon # Asset returns  # 生成贝叶斯回归数据 market_excess_return = E_R_m_samples - R_f # 独立变量 (x) asset_excess_return = E_R_i_samples - R_f # (y)  data_capm = pd.DataFrame(dict(market_excess_return=market_excess_return, asset_excess_return=asset_excess_return))  # Plot plt.figure(figsize=(7, 7)) plt.scatter(data_capm[‘market_excess_return’], data_capm[‘asset_excess_return’], label=‘Sampled Data’) plt.xlabel(‘Market Excess Return’) plt.ylabel(‘Asset Excess Return’) plt.title(‘Generated CAPM Data’) plt.legend() plt.show()
 
  
   
   

讯享网with pm.Model() as model_capm: # 定义先验分布  sigma = pm.HalfCauchy(‘sigma’, beta=10)  intercept = pm.Normal(‘Intercept’, 0, sigma=20)  slope = pm.Normal(‘slope’, 0, sigma=20)   # 定义似然函数  likelihood = pm.Normal(‘asset_excess_return’, mu=intercept + slope * market_excess_return, sigma=sigma, observed=asset_excess_return)   # 推断  trace_capm = pm.sample(3000, return_inferencedata=True) # trace az.plot_trace(trace_capm, figsize=(10, 7)) plt.show()

1_y7iDvKAuyKy77FOsonmhPA.jpg

 
  
   
    
 
   
    
     
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
      
 
     
 
   
    
     
讯享网posterior_intercept = trace_capm.posterior[“Intercept”].values.flatten() posterior_slope = trace_capm.posterior[“slope”].values.flatten()  # x x_plot = np.linspace(market_excess_return.min(), market_excess_return.max(), 100)  # regression lines plt.figure(figsize=(7, 7)) for i in range(100): # 100 个点  y_plot = posterior_intercept[i] + posterior_slope[i] * x_plot  plt.plot(x_plot, y_plot, ‘c-’, alpha=0.2)  # Plot data plt.scatter(market_excess_return, asset_excess_return, alpha=0.5) plt.xlabel(‘Market Excess Return’) plt.ylabel(‘Asset Excess Return’) plt.title(‘Posterior Predictive Regression Lines with Observed Data’) plt.show()
 
  
   
    

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