Kira | 导数定义
1️⃣引入定义
直线运动瞬时速度
v₀ = limΔt→0 v = limΔt→0 Δx/Δt
导数定义——变化率
定义：设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定义,如果极限
存在，则称此极限值为函数f(x)在x处的导数，记作
并称函数y=f(x)在点x₀处可导，如果此极限不存在，则称函数y=f(x)在点x₀处不可导，导数定义式也可写为
注：涉及变化率（函数随自变量的变化速度)的问题，都用导数来描述和计算.
例如温度T(t)对时间t的变化率T’(t)；雪堆体积V(t)对时间t的变化率V’(t)….
导数的几何意义
导数f ‘(x₀)的几何意义是曲线y= f(x)在点(x₀ , f(x₀))处的切线斜率，即f’(x₀)= tanα（其中α是切线的倾角）
切线――割线的极限位置；"局部跟曲线最像的直线”
单侧导数
一点处导数存在，左右导数都存在且相等
2️⃣可导与连续的关系
可导与连续的关系
若f(x)在点x₀处可导，则f(x)在点x₀处连续，反之不一定成立
极限比值=A，分母→0，分子也→0
灵魂拷问
【例1】
光滑也不一定可导，有切线垂直于x轴的情况
“x₀导数不存在 / 不可导”的几种情况
x₀为间断点：不连续的点
x₀为角点：连续但左右导数不相等
x₀为尖点：连续但单侧导数分别为+∞，-∞
x₀处有垂直切线：连续但左右极限都为+∞（或-∞）
3️⃣题型一网打尽
题型1：利用导数定义求导数
情形一：不方便用公式求导
【例2】
≜：记作
法一：f(x)=x·g(x)
看成乘积求导法则：f’(0) = [g(x) +x·g’(x)] | x=0
法二：导数定义
情形二：分段点求导
【例3】
分断点处求导：定义法
左右两端都要用公式求导，观察两端导数是否存在且相等
题型2：利用导数定义求极限
【例4】
判断导数定义：上下一致，定点出现，双向极限
第一性原理
多退少补
【例5】
题型3：可导的充分条件
【例6】
为啥这些极限推不出可导？
判断导数定义：上下一致，定点出现，双向极限
A反例：x=x₀时=1，x≠x₀时=0，由于x=x₀处跳跃，f’(x₀)不存在
B不是双侧极限，只能趋近于0⁺，只能是右导数定义
C是数列极限，n作为正整数，因为函数极限比数列极限复杂
D把负号给分母
洛必达要求去心邻域内，分子分母处处可导
必须是f’(x)连续，才能说极限=函数值
一点处的函数值，必须走定义
终极连环灵魂拷问
【例7】若f(x)在x₀处可导，试判断下列命题正误：
1）f(x)在x₀处连续.✓
2）f(x)在x₀的某个邻域处处可导.【一点推不出邻域】
3）f(x)在x₀的某个邻域处处连续.【只能推断出该点连续】
4）f(x)在x₀的某个邻域处处有定义.✓
2和3可以用f(x) = x²D(x)证明，D(x)是狄利克雷函数
当x→0时，lim x→0 xD(x)=0
当x→a时（a为无理数），lim x→a x²D(x)不存在
极限不存在，不连续，也不可导
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