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2025年漫步数理统计十四——重要的不等式

科技前沿 • • 阅读 43

漫步数理统计十四——重要的不等式本篇博文给出涉及期望的三个不等式的证明 之后我们会经常遇到这些不等式 首先介绍一个有用的结论 定 理 1 令 X 表示随机变量 m 是一个正整数 假设 E X m 存在 如果 k 是一个正数且 k m 那么

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本篇博文给出涉及期望的三个不等式的证明，之后我们会经常遇到这些不等式，首先介绍一个有用的结论。


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定理1： 令 X 表示随机变量， m 是一个正整数，假设 E[Xm] 存在，如果 k 是一个正数且 k≤m ，那么 E[Xk] 存在。

证明： 我们证明连续情况；离散情况与之类似，只需要将积分符号换成求和符号即可，令 f(x) 是 X 的pdf，那么
∫∞−∞|x|kf(x)dx=∫|x|≤1|x|kf(x)dx+∫|x|>1|x|kf(x)dx≤∫|x|≤1f(x)dx+∫|x|>1|x|mf(x)dx≤∫∞−∞f(x)dx+∫∞−∞|x|mf(x)dx≤1+E[|X|m]<∞

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