- 下确界：infimum，简写为 inf（注意和 infinity（无穷）的区别），最大下界，floor：地板的顶；
- 上确界：supremum，最小上界，ceiling：天花板的底；
0. （集合）最大数最小数
- 集合 B={
x∣∣0≤x<1} 中没有最大值。
采用反证法的形式进行证明，设 β 为该集合的最大值，令 β′=1+β2 （构造性证明），显然 β′∈B ，且 β′>β ，这与 β 是集合 B 的最大值相矛盾。
1. 举例体会
- 上确界与最大值的区别
x∈R,x<2 ⇒ 2 是集合 x 的上确界，但x 却不存在一个确定的最大值；
2. 上下界与上下确界
- 设非空集合 E∈R ，如果有实数 L 使得
x≤L，∀x∈E （即 E 中所有元素均小于等于x ），则称 L 为E 的一个上界。如果有实数 ℓ 使得 x≥ℓ，∀x∈E ，则称 ℓ 为 E 的一个下界； - 对于非空集合
E 属于 R ，其最小上界称为E 的上确界，以 supE 表示；最大下界称为 E 的下确界，以infE 表示。 - 确界是建立在最大最小数的基础上定义的；
- 上确界，上界集合的最小数；
- 下确界，下界集合的最大数；
上确界，上界集合存在的最小数。上界集合存在最小数需要证明，令其上确界为 β ，则 β 需满足，
- 是上界： ∀x∈S ⇒ x≤β
- 是上界集合的最小数， ∀ϵ>0 ，所以 β−ϵ 不再是上界，因此 ∃x ⇒ x>β−ϵ
- 由以上进一步可知， x≤β<x+ϵ
确界存在定理，也叫实数系连续定理，非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。
3. 性质
Let A,B⊆R and suppose the infima and suprema of these sets exist. Define λA={ λx:x∈A} , A+B={ x+y:x∈A, y∈B} , and AB={ xy:x∈A, y∈B} .
- p=infA if and only if for every ϵ>0 there is an x∈A with x<p+ϵ , and x≥p for every x∈A .
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