指数与对数的运算题目（指数与对数的运算题目及过程）

科技前沿 • 2025-04-22 12:59 • 阅读 49

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    数最原始的功能就是比较大小，数不能比较大小，就没有存在的必要了。下面说说比较复杂的数比较大小。

新高考对数和指数比较大小的问题

    近一段时间以来，高考数学试卷越来越多的出现了许多比较大小的题型，我们发现常用的一些方法比如单调性法，引入中间变量法等好像作用比较小，需要挖掘更多的方法，比如放大缩小法，构建函数法，糖水不等式法等方法，或者需要对原来的方法加以强化，下面看一下最近一些比较复杂的比较大小问题。

一、没想到f(x)=ln(lg(x)),g(x)=lg(ln(x))是增函数，而且大小关系能判断。

例：  如下题目：                                                                                                                               

 比较大小 

[解析]：对于题目中的  对应的函数  , 定义域为  时, 

复合函数  都是增函数, 我们看看  的单调性,

 因为ln10-1>0,当x>=1时，lnx>0,所以h(x)递增，

  当x=e时，h(e)<0

  当x=10时，h(10)=ln(lg10)-lg(ln10)=-lg(ln10)<0

因为  , 所以  , 即  至于  与  ,

所以  , 对于  与  ，设  , 因为递增, 且  ,

结论：

  当x>1时，F(x)=ln(lgx),g(x)=lg(lnx)，h(x)=ln(lgx)-lg(lnx)都为增函数，h(x)的零点为近似值为79左右的值。对于零点可以试探性的确定。

二、利用f(x)=lnx/x函数，处理含lnx的问题比较有效

例题: (2005 全国二理 6)  比较大小

解:    在  递增,  递减,  , 由  , 所以  .

变式训练:  8

解: 根据  在  递减, 由  ,

所以 

三、  其实是个減函数,  其实是个增函数,可以衍生糖水多项式。 

      对于函数  , 且  ,

对于函数  , 当  递减; 当  递增。所以对于函数  显然,  时,  所以  递减。类似的  , 当  时, 递增。 

若  , 且  ,

时,  递减。

类似若  , 且  时,  递增。

可推出常用结论：

  (1)  (2)  (3)  更一般的: 

由糖水不等式 <a </a

类比, 上面式子可以看作是对数型糖水不等式。

例：比较大小 (1)  ; (2)  解析: (1)  ; (2)  变式训练 :  比较大小

(提示：利用性质+换底做差法解决。)

例题 : (2021 全国乙卷, 12) 设  ,比较大小关系。 

解析：此题难道还是有的，先比较a与b,

与  比较大小, 今  ,构造函数法, 

由图像,  递增,  递减, 所以  用泰勒展开式能估算吗?

即  . 最后得到:    与  如何比较呢: 构造函数法试一下: 

所以b<c.

结论：2021年两个数比较大小主要体现了构造函数法比较大小的作用。用其他的办法都比较复杂。

四、贝努力不等式合理利用，能解决指数的比较大小。

公式如下：

事实上，用计算器算一下，差别还是很小的。

结论：除利用了前面讲到的对数型糖水不等式以外，还用到了贝努力不等式，贝努力不等式在用法比较灵活，要学会把x变小，不能太大。