原标题：既约真分树 | 法雷序列
标题中写成了真分树，是的，应该是真分数，但您读下去后就会发现，与树还是有些很形象的联系的。
今天的内容又是很丰富，涉及很多知识，看似零散，实则互相联系。是很纯的数学。感谢您的耐心阅读。
下图中所示"三角形“看似杨辉三角(国外叫帕斯卡三角形)，但不是。它的每一行都是由一些既约分数构成。比如第三行，我们叫它为F3(F是Farey的首字母)，除行两端的0/1和1/1外，中间的分数是分母小于等于3(F3中的3)的既约真分数：1/3，1/2，2/3。所谓既约，是指分子和分母是互素的，即没有除1以外的其他公因子。所谓真分数，是指分子小于分母。这三个既约真分数(F3中只有这三个)从左到右按从小到大的顺序排列，即1/3<1/2<2/3。类似地，第4行F4中的既约真分数当然首先包含了上一行的所有既约真分数，还要加入分母为4的既约真分数：1/4和3/4，所以F4中既约真分数从左到右按从小到大的顺序排列为：1/4，1/3，1/2，2/3，3/4。下图中给出了F1到F7中的全部既约真分数。第n行中除两端以外的其他数按照从小到大的顺序排列构成的数列叫作n阶法雷数列(也有叫法雷级数的，我认为不确切，因为级数是把各项加起来，而我们这里讨论它是不需要相加的)。
如果把上表中的既约真分数的分子作为横坐标，分母作为纵坐标，这样就把表中既约真分数与直角坐标一 一对应起来。我们在直角坐标系中描出所有这些坐标所表示的点，然后把这些点分别与原点相连接。如下图所示。我们发现这些连接线段从原点开始呈发射状，很像是一个没有扇面的扇架。这些线段只在原点处相交，并且，这些线段上面没有任何格点(坐标为整数的点)。这个不难理解，因为每个点的横纵坐标都是互素的。
我们来研究上图。法雷数列Fn中既约真分数对应的坐标点，全都位于y轴的右侧、对角线y=x的上面、直线y=n的下面及直线x=n-1的左侧，即这四条直线所围成的梯形内部和边界上。随着n的增加，区域向上方偏右无限延伸。上图中只画到F8。
最靠近“扇架”左边的线段是从原点到点(0,1)的连线，它对应于F8中最左端的0/1。
最靠近“扇架”右边的线段是从原点到点(1,1)的连线，它对应于F8中最左端的1/1。
然后，在上面两条线段之间，从左边这条线段顺时针方向依次转过去，分别就是以下面这些点为一端点的线段：
(1,8)，(1,7)，(1,6)，(1,5)，(1,4)，(2,7)，(1,3)，(3,8)，(2,5)，(3,7)，(1,2)，(4,7)，(3,5)，(5,8)，(2,3)，(5,7)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)。
它们分别对应于F8中的
上式中所有既约真分数的倒数就是它们所对应线段的斜率，既约真分数越小，对应的线段的斜率就越大。所以，法雷数列是从小到大排列，对应的线段的斜率就是从大到小，即顺时针旋转排列。
法雷数列有一个性质，就是一行中紧挨着的两个既约真分数a/b和c/d，有关系式bc-ad=1。比如2/5和3/7是紧挨着的，所以有5×3-2×7=15-14=1。那么在我们上面的放射状扇架中是怎么体现的呢？那就是，以紧挨着的两条线段为两条边的三角形，它的面积等于二分之一(用到了解析几何中已知三顶点坐标求三角形面积的公式，这里不具体给出了)。这样的三角形都是本原三角形。所谓本原三角形，就是指三个顶点都为格点，但三条边上及内部没有格点的三角形。本原三角形的面积一定是二分之一。下图中的五个三角形都是本原三角形。
而下图中的就都不是本原三角形：
本原三角形面积等于二分之一，也可以从皮克定理获得。复习一下皮克定理：
如果以大写字母 I(Inner grid point)表示内部格点个数，以E(Edge grid point)表示边界格点个数，那么格点多边形的面积S为：
S＝I＋E／2－1
这就是皮克定理。
那么在下图中，五个三角形(形状各异)都是有三个点位于边界上(三角形三个顶点)，即E=3，它们都没有内部格点，即I=0，所以，求出S=3/2-1=1/2。
从下面这张图还可以看出什么呢？
对，就是从原点处向四周看，所有以互素的两个数为横纵坐标的点，都可以被看到。还可以打个比喻：在一片森林中，每棵树都被栽种在横纵坐标互素的格点上，且不计树的粗细(当成一根一维的垂直线段)，那么，一个人站在原点处是可以看到所有这样的树的，或者说，原点处发出的光是能够照射到所有这样的树的。
说到本原三角形，我想到了以前在《几何谬误与斐波那契数列》中涉及的图形(下图)。其中的A、B、C三点构成一个本原三角形，A、C、D三点也构成一个本原三角形。它们的面积都是二分之一。所以使得缝隙ABCD(是个四边形)的面积等于1，由于缝隙很窄，几乎看不出来，从而产生了这个著名的几何学谬误。观察下图，可以发觉，AB(2×5矩形的对角线)、BC(3×8矩形的对角线)、CD(2×5矩形的对角线)、AD(3×8矩形的对角线)这四条线段除端点外都不经过其他格点。而线段AC(5×13矩形的对角线)若真的画出来，它也是不经过格点的。(2与5互素，3与8互素，5与13互素。)
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