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 <p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F4c98a8f3j00smbuep009gd000ic00b0p.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR55R">[wei.bq6u.com）</p><p id="350GR55S">偶然看到一个数学视频，让我感到震惊，视频中介绍的一个我从未听说过的定理。这个定理的美妙之处在于，尽管它已经超过2500年未被发现，但这并不是因为它难以证明，而是因为之前没有人注意到其中的模式。这让我意识到，即使是深入研究数学的人，也可能对自己所热爱的领域内存在的知识一无所知。这让我更加确信，知识的海洋是无边无际的，即使是在古老的数学领域中，仍然有着无数未被发现的宝藏等待着我们去探索。这种发现新知的过程既是挑战也充满了乐趣。</p><p id="350GR55T">这个定理非常简单，简单到连学生都能够轻松理解。但是，尽管其原理直观易懂，关于它的深入了解却相当有限。这种基本而简单的数学知识，长时间以来一直未被人们注意，直到20世纪中叶，一个名为阿尔弗雷德·莫斯纳的数学家做出了被认为是开创性的发现。</p><p id="350GR55U">让我们从一些非常简单的情况开始。考虑奇数自然数的部分和，即</p><p id="350GR55V">1 = 1,</p><p id="350GR560">1+3 = 4,</p><p id="350GR561">1+3+5 = 9,</p><p id="350GR562">1+3+5+7 = 16,</p><p id="350GR563">1+3+5+7+9 = 25。</p><p id="350GR564">你发现规律了吗？得到的是平方数，所以奇数的部分和是平方数！古希腊人知道这一点，他们甚至提供了这一发现的一个视觉证明。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fefd3dde0j00smbudw003qd000ic007fp.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fbe25b718p00smbudy0000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F76068dccp00smbudy0000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F7bcfd87ep00smbudz0000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F3027f3fdp00smbue00000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F20a3eaf2p00smbue10000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F3b2960c5p00smbue10000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F52a6766ap00smbue20000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F7ecf1f3bp00smbue30000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F55d2ed5cp00smbue30000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fc4a354d6p00smbue30000d0000c000kp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Ffdp00smbue40000d0000g000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F47f33a86p00smbue50000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fbb2cc7cap00smbue50000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fb5b15919p00smbue60000d0000k000kp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F601b60fap00smbue60000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F880b4e81p00smbue70000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F7e8abc3ap00smbue70000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F0b306f2cp00smbue80000d0000c000gp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F3447fdf6p00smbue80000d0000c000gp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fb50aeb0ap00smbuea0000d0000c000gp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fcdp00smbuea0000d0000k000gp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F4afe65e3p00smbueb0000d0000c000gp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F018b0d9cp00smbueb0000d0000c000gp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fffp00smbuec0000d0000c0008p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fecd97f60p00smbued0000d0000c000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F9a715e2fp00smbued0000d000080008p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F41ea421ep00smbuee0000d000080008p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F06c17503p00smbuee0000d000p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fb2ff2874p00smbuef0000d00008000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F9d52714ap00smbueg0000d00008000cp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F1f804a59p00smbueg0000d0000g0008p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fp00smbuej0000d000080008p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR58A">[wu.guninfo.net）</p><p id="350GR58B">在上图中，彩色的球代表前4个奇数，我们清楚地看到前几个奇数的和给出了一个平方数。</p><p id="350GR58C">莫斯纳采取了一个独特的方法来处理某个已知的数学概念。他不仅仅是从另一个角度重新考虑了这个概念，而且还采用了一种创造性和系统化的方法去重构这个概念。这个过程类似于编制算法，意味着他通过设定一系列明确的步骤和规则，以一种几乎可以编程的方式来深入探讨和论证数学理论。他对上述的构造如下：想象从所有的自然数开始： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…然后每隔1个数字移除1个数字，即得到的是奇数序列。所以新的数字序列是： 1, 3, 5, 7, 9, …并取部分和得到平方数1, 4, 9,...</p><p id="350GR58D">但当我们使用这种方法时，它更容易泛化（这是数学家喜欢做的事情）。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Fc86865f4p00smbudt0000d0000k000kp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR58N">现在再次取所有的自然数，每隔2个数字移除1个数字，得到数字序列： 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13,…取部分和得到一个新的序列： 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61,…再次，每隔1个数字移除1个数字得到： 1, 7, 19, 37, 61,…再次取部分和得到： 1, 8, 27, 64, 125,…你认出这些数字了吗？它们是立方数！1=1³, 8=2³, 27=3³,…</p><p id="350GR58O">这个计算可以在以下图像中构建：</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F1baffd48p00smbudu001fd000ic003hp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR58Q">[wu.ongacu.com）</p><p id="350GR58R">这个模式继续下去。如果我们开始时从自然数中<strong>去掉每第n个数字（</strong>每隔1个数字移除1个数字<strong>）</strong>，取部分和形成一个新序列，从该序列中去掉每第n-1个数字，并取部分和，去掉第n-2个数字等等，<strong>最终会得到一个由原数n的各个幂组成的数列</strong>。</p><p id="350GR58S">我怎么从没听说过这个？如此简单，如此美丽。</p><p id="350GR58T">这才刚刚开始，事实证明，这里还有更多的东西可以发现。例如，如果你开始时移除其他有趣的数字序列，那么会产生什么序列呢？有没有一个通用的模式？</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F54b7a0dbj00smbuel002od000ic005ip.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR58V">[zong.topzet.com）</p><p id="350GR590">在上图中，<strong>三角数</strong>（1,3,6,10,15,21）从自然数中被移除，得到</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F021de7bfp00smbuel000dd000ic001yp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR592">[pan.choza96.com）</p><p id="350GR593">取部分和得到：</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2F3dd16d89p00smbuem000fd000ic001pp.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR595">[tian.ahckdz.com）</p><p id="350GR596">接着，移除第下标为三角数的数，得到：</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1102%2Ff80f3930p00smbuen000bd000ic0020p.png&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="350GR598">[bu.j3c5.com）</p><p id="350GR599">继续取部分和得到：6,24,50,96,154,225,326</p><p id="350GR59A">最终，每个序列的第一个数字为：1, 2, 6, 24, 120, …，这些就是<strong>阶乘</strong>，即2 = 2⋅1, 6 = 3⋅2⋅1, 24 = 4⋅3⋅2⋅1等等。</p><p id="350GR59B">注意，三角数是形式为1+2+3+⋅⋅⋅+n的数字，它们被转换为形式为1⋅2⋅3⋅⋅⋅n的数字。这是巧合吗？</p><p id="350GR59C">还要注意，如果我们移除形式为n, 2n, 3n, 4n, … 的数字，其中n &gt; 1，那么输出将是1^n, 2^n, 3^n, 4^n, …，<strong>所以这里输入和输出之间有某种指数关系</strong>。看来一般而言，如果我们将输入序列中的每个数字乘以一个数m，输出序列中的元素都将变为提升到m的幂。</p><p id="350GR59D"><strong>实验</strong></p><p id="350GR59E">为了测试这个想法，我用Python编写了一个程序，能够根据要删除的输入数字序列输出这些序列。我甚至考虑过除加法之外的其他运算。</p><p id="350GR59F">事实证明，如果从自然数中开始移除平方数，即形式为n²的数字，那么会得到一个输出2, 12, 144, 2880, … 这些是形式为n! (n+1)!的数字。</p><p id="350GR59G">相反，如果你移除序列2, 6, 12, 20, 30, 42,… 即形式为n(n+1)的数字，那么你会得到序列1, 4, 36, 576, 14400,…这[bu.share.sks-cutter.com）些是形式为(n!)²的数字。</p><p id="350GR59H">所以看起来这里存在某种双重关系。另一[share.bu.carmenfr.com）方面，鉴于我们之前的发现，阶梯结果并不令人惊讶，因为形式为n[kuai.share.scannesud.com）(n+1)的数字只是三角数乘以2。</p><p id="350GR59I">通过使用上述程序，我能够发[www.tian.bangjuwang.com）现几个其他有趣的关系。包括：</p><p id="350GR59Q">如果输入序列是{2^k}[wei.share.chinavison.com） = {1, 2, 4, 8, 16, 32, …}，那么输出序[wei.www.yuanran295.com）列似乎是{3, 8, 60, 3456, ,…}，这[bu.share.fondmer.com）是n阶二叉树的独立集合数量。</p><p id="350GR59R">如果选择移除五边形数，即形式为n[kuai.www.ihe-design.net）(3n-1)/2的数字，那么会得到一个形式为(n!)²(n+1)![po.www.bangjuwang.com）的数字序列。</p><p id="350GR59S">如果输入序列是四面体数，即前几个三角数的和，那么输出[po.www.luck-adorn.com）序列是超阶乘，即前几个阶乘的乘积。</p><p id="350GR59T">如果输入序列是方锥数1, [share.bu.nhadatvina.com）5, 14, 30, 55, 91, …，那么输出序列由某些n×n矩阵[kuai.share.043e.com）的行列式组成。</p><p id="350GR59U"><strong>最后</strong></p><p id="350GR59V">在反思古代数学家的工作时，我认识到他们未能证明所[bu.www.woabooks.com）有数学情况的原因是，他们的数学思维被限制在了三个维度之内。他们将[share.wu.hkgaoshan.com）数字视为与真实世界的几何形状直接相关，并且没有探索超过立方数的更高次幂。[wei.share.0mlp.com）虽然他们的数学研究没有延伸到这些更高的维度，但从他们的立场来看[tian.share.seguy-tp.com），如果他们在数列中考虑去除每隔两个数后的第三个数，他们可能会注意[share.kuai.ijuexue.com）到这些数与构成立方体的层级结构有关。这种结构在几何上可以解[share.tian.ikonbolton.com）释为向立方体添加新的层，就像给立方体增添外壳一样。尽管如此，他们对数的这种三维几何理解在当时已经是相当先进的了。</p>