2025年2021-5-26 第七天 (有限元的基本概念)

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附上参考资料镇楼
Brenner S, Scott R. The mathematical theory of finite element methods[M]. Springer Science & Business Media, 2007.
从第三章开始看了,中间的东西抽空每天打点, Sobolev 空间的东西不做题还是没用.首先给出有限元的定义:

基本概念

定义: (有限元)
令:

$\subset \mathbb{R}^{n}$ 表示内点非空并且具有分片光滑边界的有界闭集(网格单元).
$\mathcal{P}$ 表示定义在 $K$ 上的有限维函数空间.
$\mathcal{N} = \left\lbrace N_{1}, N_{2}, \cdots, N_{k} \right\rbrace$ 表示 $\mathcal{P}^{'}$ 的一个基函数(节点变量).

称三元组 $\mathcal{P}, \mathcal{N})$ 为有限元.

定义: (节点基函数) 假设 $\mathcal{P}, \mathcal{N})$ 为有限元,定义 $\left\lbrace \phi_{1}, \cdots, \phi_{k}\right\rbrace$ 表示 $\mathcal{P}$ 的 $\mathcal{N}$ 的对偶基,即有: $N_{i}\left( \phi_{j} \right) = \delta_{ij}$ , 称这样的基函数为 $\mathcal{P}$ 的节点基函数.

例子: (1维 Lagrange 有限元) 记 $\left[0, 1 \right]$ , $\mathcal{P}$ 表示一次多项式, 定义 $N_{1}(u) = u(0), \ N_{2}(u) = u(1)$ . $\phi_{1}(x) = 1-x, \ \phi_{2}(x) = x$ 为节点基函数, 满足:
$\begin{aligned} &N_{1}(\phi_{1}) = 1 \quad N_{1}(\phi_{2}) = 0 \\ &N_{2}(\phi_{1}) = 0 \quad N_{2}(\phi_{2}) = 1 \end{aligned}$
一般的, 假设 $K = [a, b]$ , 定义 $\mathcal{P}_{k}$ 表示次数不超过 $k$ 的多项式全体, 定义 $\mathcal{N}_{k} = \left\lbrace N_{0}, N_{1}, N_{2}, \cdots, N_{k} \right\rbrace$ , 为 $N_{i}(v) = v(a + (b-a) \dfrac{i}{k})$ , 则: $\mathcal{P}_{k}, \mathcal{N}_{k})$ 为有限元

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下面给出如下引理:
设 $\mathcal{P}$ 表示 $d$ 维线性空间, $\left\lbrace N_{1}, \cdots, N_{d} \right\rbrace$ 为对偶空间 $\mathcal{P}^{'}$ 的子集, 则下述等价:

$\left\lbrace N_{1}, \cdots, N_{d} \right\rbrace$ 为 $\mathcal{P}^{'}$ 的基.
对于给定的 $\in \mathcal{P}$ , 如果满足 $N_{i}v = 0 \ \ \forall i =1,\cdots,d$ , 则 $v = 0$

证明:
任意取 $\in \mathcal{P}'$ , 则利用 $\left\lbrace N_{1}, \cdots, N_{d} \right\rbrace$ 是基函数, 从而存在唯一 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{d}$ , 使得:
$\beta_{1}N_{1} + \beta_{2}N_{2} + \cdots + \beta_{d}N_{d}$
任意取 $\mathcal{P}$ 中的基 $\left\lbrace \phi_{1}, \cdots, \phi_{d} \right\rbrace$ , 记 $y_{i} = L(\phi_{i})$ 利用 $\in \mathcal{P}$ , 从而假设:
$\alpha_{1} \phi_{1} + \alpha_{2} \phi_{2} + \cdots + \alpha_{d}\phi_{d}$
根据条件, 有: $N_{i}(v) = 0 \ \forall i = 1, 2, \cdots, d$ , 从而要证明 $v = 0$ , 即要证明,以下线性方程组只有零解:
$\begin{pmatrix} N_{1}(\phi_{1}) & N_{1}(\phi_{2}) & \cdots & N_{1}(\phi_{d}) \\ N_{2}(\phi_{1}) & N_{2}(\phi_{2}) & \cdots & N_{2}(\phi_{d}) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ N_{d}(\phi_{1}) & N_{d}(\phi_{2}) & \cdots & N_{d}(\phi_{d}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{d} \end{pmatrix} = 0$
只有零解
注意, 根据线性代数只是, 对于任意给定的 $y_{1}, \cdots, y_{d} \in \mathbb{R}$ , 总能够找到 $\in \mathcal{P}^{'}$ , 使得 $L(\phi_{i}) = y_{i}$ , 这等价于方程组:
$\begin{pmatrix} N_{1}(\phi_{1}) & N_{2}(\phi_{1}) & \cdots & N_{d}(\phi_{1}) \\ N_{1}(\phi_{2}) & N_{2}(\phi_{2}) & \cdots & N_{d}(\phi_{2}) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ N_{1}(\phi_{d}) & N_{2}(\phi_{d}) & \cdots & N_{d}(\phi_{d}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{d} \end{pmatrix}$
总有解, 注意上面是方阵, 因此上面方程解存在即唯一, 从而上面两个命题分别等价于两个线性方程组解存在性的问题, 注意到这两个线性方程组的矩阵互为转置的关系, 因此上面两个方程组解的存在唯一性条件等价, 即上面两个命题等价.

下面证明上面定义的 $\mathcal{P}_{k}, \mathcal{N}_{k})$ 为有限元, 只需要证明 $\left\lbrace N_{0}, \cdots, N_{k} \right\rbrace$ 为基即可, $\forall v \in \mathcal{P}_{k}$ , 假设:
$N_{i}(v) = v\left(a + (b-a) \dfrac{i}{k}\right) = 0$
马上可以知道, 次数不超过 $k$ 的多项式 $v$ 有 $k + 1$ 个零点, 利用代数基本定理: $\equiv 0$ .

定义: 如果 $\forall \psi \in \mathcal{P}$ , $N(\psi) = 0 \quad \forall N \in \mathcal{N} \Longrightarrow \psi = 0$ , 则称 $\mathcal{N}$ 决定 $\mathcal{P}$ .

引理: 记 $\left\lbrace x: L(x) = 0 \right\rbrace$ 表示超平面, 设 $P$ 为多项式, $\deg{P} \geq 1$ , $P$ 在超平面 $L$ 上的值为0, 则可以将 $P$ 表示为 $P = L Q$ , 其中 $Q$ 为 $deg{P} - 1$ 次多项式.

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