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高一数学知识点总结集合（通用20篇）

　　1、高一数学知识点总结：集合一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性如：世界上最高的山

　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　1)列举法：{a,b,c……}

　　2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大

　　括号内表示集合的方法。{x∈R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的集合

　　(2)无限集含有无限个元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　2、高一数学知识点总结：集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：A?B有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A

　　2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x2

　　-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：

　　①任何一个集合是它本身的子集。A?A

　　②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

　　③如果A?B,B?C,那么A?C

　　④如果A?B同时B?A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，一般我们把不含任何元素的集合叫做空集。

　　集合的含义

　　集合的中元素的三个特性：

　　元素的确定性如：世界上的山

　　元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H，A，P，Y}

　　元素的无序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一个集合

　　3。集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集NN+整数集Z有理数集Q实数集R

　　列举法：{a，b，c……}

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x（R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　Venn图：

　　4、集合的分类：

　　有限集含有有限个元素的集合

　　无限集含有无限个元素的集合

　　空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

　　这学期我担任高一7、8两个普通班的数学教学工作。深入研究教法，经过一个学期的努力，获取了很多宝贵的教学经验。以下是我在本学期的教学情况总结：

　　教学就是教与学，两者是相互联系，不可分割的，有教者就必然有学者。学生是被教的主体。因此，了解和分析学生情况，有针对地教对教学成功与否至关重要。一方面，从学生基础来看，学生底子，另一方面，上课比较活跃，上课气氛非常积极，但中等生、差等生占较大的比例，尖子生相对比较少。因此，讲得太深，没有照顾到整体，我备课时也没有注意到这点，因此教学效果不是很理想。从此可以看出，了解及分析学生实际情况，实事求是，具体问题具体分析，做到因材施教，对授课效果有直接影响，这根提高数学高效课堂有很大的关系。这就是教育学中提到的“备教法的同时要备学生”。这一理论在我的教学实践中得到了验证。

　　教学中，备课是一个必不可少，十分重要的环节，备学生，又要备教法。备课不充分或备得不好，会严重影响课堂气氛和积极性，曾有一位前辈对我说：“备课备不好，倒不如不上课，否则就是白费心机”。我明白到备课的重要性，因此，每天我都花费大量的时间在备课之上，认认真真钻研教材和教法，不满意就不收工。虽然辛苦，但事实证明是值得的。

　　一堂准备充分的课，会令学生和老师都获益不浅。如果照本宣科地讲授，学生会感到困难和沉闷。为了上好这堂课，我认真研究了教材，找出了重点，难点，准备有针对性地讲。为了令教学生动，不沉闷，我还为此准备了大量的比较感兴趣的事例和教具，授课时就胸有成竹了。

　　备课充分，能调动学生的积极性，上课效果就好。但同时又要有驾驭课堂的能力，因为学生在课堂上的一举一动都会直接影响课堂教学。因此上课一定要设法令学生投入，不让其分心，这就很讲究方法了。上课内容丰富，现实。教态自然，讲课生动，难易适中照顾全部，就自然能够吸引住学生。所以，老师每天都要有充足的精神，让学生感受到一种自然气氛。这样，授课就事半功倍。回看自己的授课，我感到有点愧疚，因为有时我并不能很好地做到这点。当学生在课堂上无心向学，违反纪律时，我的情绪就受到影响，并且把这带到教学中，让原本正常的讲课受到冲击，发挥不到应有的水平，以致影响教学效果。我以后必须努力克服，研究方法，采取有利方法解决当中困难。

　　数学是一门工具学科，对学生而言，既熟悉又困难，在这样一种大环境之下，要教好数学，就要让学生喜爱数学，让他们对数学产生兴趣。否则学生对这门学科产生畏难情绪，不愿学，也无法学下去。为此，我采取了一些方法，就是尽量多讲一些笑话和数学典故，让他们更了解数学，更喜欢学习数学。只有激发学生学习数学的乐趣，才能提高同学们的解题能力，对成绩优秀的同学很有好处。</p><p>　　因为数学的特殊情况，学生在不断学习中，会出现好差两极分化的现象，差生面扩大，会严重影响班内的学习风气。因此，绝对不能忽视。为此，我制定了具体的计划和目标。对这部分同学进行有计划的辅导。数学是语言。困此，除了课堂效果之外，还需要让学生多想，多练。为此，在自修时，我坚持下班了解自修情况，发现问题及时纠正。课后发现学生作业问题也及时解决，及时讲清楚，让学生即时消化。另外，对部分不自觉的同学还采取扎实基础的方式，先打实他们的基础，然后想办法提高他们的能力。</p><p>　　由于经验颇浅，许多地方存在不足，希望在未来的日子里，能在学校领导老师、前辈们的指导下，取得更好成绩。</p><p>　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。</p><p>　　集合与集合之间的关系</p><p>　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作AB。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作AB。中学教材课本里将符号下加了一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。</p><p>　　圆锥曲线性质：</p><p>　　<strong>一、圆锥曲线的定义</strong></p><p>　　1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.</p><p>　　2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.</p><p>　　3.圆锥曲线的.统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.</p><p>　　<strong>二、圆锥曲线的方程</strong></p><p>　　1.椭圆：+=1(a&gt;b&gt;0)或+=1(a&gt;b&gt;0)(其中，a2=b2+c2)</p><p>　　2.双曲线：-=1(a&gt;0，b&gt;0)或-=1(a&gt;0，b&gt;0)(其中，c2=a2+b2)</p><p>　　3.抛物线：y2=±2px(p&gt;0)，x2=±2py(p&gt;0)</p><p>　　<strong>三、圆锥曲线的性质</strong></p><p>　　1.椭圆：+=1(a&gt;b&gt;0)</p><p>　　(1)范围：|x|≤a，|y|≤b(2)顶点：(±a，0)，(0，±b)(3)焦点：(±c，0)(4)离心率：e=∈(0，1)(5)准线：x=±</p><p>　　2.双曲线：-=1(a&gt;0，b&gt;0)(1)范围：|x|≥a，y∈R(2)顶点：(±a，0)(3)焦点：(±c，0)(4)离心率：e=∈(1，+∞)(5)准线：x=±(6)渐近线：y=±x</p><p>　　3.抛物线：y2=2px(p&gt;0)(1)范围：x≥0，y∈R(2)顶点：(0，0)(3)焦点：(，0)(4)离心率：e=1(5)准线：x=-</p><p>　　二次函数</p><p>　　I.定义与定义表达式</p><p>　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c</p><p>　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数</p><p>　　当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数</p><p>　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。</p><p>　　知识点：</p><p>　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为k。</p><p>　　2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)</p><p>　　1.多面体的结构特征</p><p>　　(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。</p><p>　　正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。</p><p>　　(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。</p><p>　　正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。</p><p>　　(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形。</p><p>　　2.旋转体的结构特征</p><p>　　(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.</p><p>　　(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.</p><p>　　(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。</p><p>　　(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到。</p><p>　　3.空间几何体的三视图</p><p>　　空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。</p><p>　　三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法。</p><p>　　4.空间几何体的直观图</p><p>　　空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：</p><p>　　(1)画几何体的底面</p><p>　　在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。</p><p>　　(2)画几何体的高</p><p>　　在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变。</p><p>　　【—正比例函数公式】正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。</p><p>　　<strong>正比例函数的性质</strong></p><p>　　定义域：R(实数集)</p><p>　　值域：R(实数集)</p><p>　　奇偶性：奇函数</p><p>　　单调性：</p><p>　　当&gt;0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;</p><p>　　当k&lt;0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。</p><p>　　周期性：不是周期函数。</p><p>　　对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。</p><p>　　正比例函数图像的作法</p><p>　　1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;</p><p>　　2、根据第一步求的x、y的值描出点;</p><p>　　3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。</p><p>　　<strong>一、集合有关概念</strong></p><p>　　1、集合的含义</p><p>　　2、集合的中元素的三个特性：</p><p>　　(1)元素的确定性如：世界上的山</p><p>　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}</p><p>　　(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合</p><p>　　3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}</p><p>　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}</p><p>　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。</p><p>　　注意：常用数集及其记法：</p><p>　　非负整数集(即自然数集)记作：N</p><p>　　正整数集：N_或N+</p><p>　　整数集：Z</p><p>　　有理数集：Q</p><p>　　实数集：R</p><p>　　1)列举法：{a,b,c……}</p><p>　　2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3&gt;2},{x|x-3&gt;2}</p><p>　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}</p><p>　　4)Venn图:</p><p>　　4、集合的分类：</p><p>　　(1)有限集含有有限个元素的集合</p><p>　　(2)无限集含有无限个元素的集合</p><p>　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝</p><p>　　<strong>二、集合间的基本关系</strong></p><p>　　1、“包含”关系—子集</p><p>　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。</p><p>　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA</p><p>　　2、“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)</p><p>　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”</p><p>　　即：</p><p>　　①任何一个集合是它本身的子集。AíA</p><p>　　②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)</p><p>　　③如果AíB,BíC,那么AíC</p><p>　　④如果AíB同时BíA那么A=B</p><p>　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ</p><p>　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。</p><p>　　4、子集个数：</p><p>　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集</p><p>　　<strong>三、集合的运算</strong></p><p>　　运算类型交集并集补集</p><p>　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.</p><p>　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).</p><p>　　1、柱、锥、台、球的结构特征</p><p>　　(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相</p><p>　　平行，由这些面所围成的几何体。</p><p>　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。</p><p>　　表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?A&#39;B&#39;C&#39;D&#39;E&#39;或用对角线的端点字母，如五棱柱AD&#39;</p><p>　　几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平</p><p>　　行于底面的截面是与底面全等的多边形。</p><p>　　(2)棱锥</p><p>　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等</p><p>　　表示：用各顶点字母，如五棱锥P?A&#39;B&#39;C&#39;D&#39;E&#39;</p><p>　　几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离</p><p>　　与高的比的平方。</p><p>　　(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分</p><p>　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等</p><p>　　表示：用各顶点字母，如五棱台P?A&#39;B&#39;C&#39;D&#39;E&#39;</p><p>　　几何特征：</p><p>　　①上下底面是相似的平行多边形</p><p>　　②侧面是梯形</p><p>　　③侧棱交于原棱锥的顶点</p><p>　　(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：</p><p>　　①底面是全等的圆;</p><p>　　②母线与轴平行;</p><p>　　③轴与底面圆的半径垂直;</p><p>　　④侧面展开图是一个矩形。</p><p>　　【(一)、映射、函数、反函数】</p><p>　　1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.</p><p>　　2、对于函数的概念，应注意如下几点：</p><p>　　(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.</p><p>　　(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.</p><p>　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.</p><p>　　3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：</p><p>　　(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;</p><p>　　(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);</p><p>　　(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.</p><p>　　注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.</p><p>　　②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.</p><p>　　【(二)、函数的解析式与定义域】</p><p>　　1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的.定义域.求函数的定义域一般有三种类型：</p><p>　　(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;</p><p>　　(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：</p><p>　　①分式的分母不得为零;</p><p>　　②偶次方根的被开方数不小于零;</p><p>　　③对数函数的真数必须大于零;</p><p>　　④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;</p><p>　　⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.</p><p>　　应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).</p><p>　　(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.</p><p>　　已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.</p><p>　　2、求函数的解析式一般有四种情况</p><p>　　(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.</p><p>　　(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.</p><p>　　(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.</p><p>　　(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.</p><p>　　【(三)、函数的值域与最值】</p><p>　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：</p><p>　　(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.</p><p>　　(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.</p><p>　　(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.</p><p>　　(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.</p><p>　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.</p><p>　　(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.</p><p>　　(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.</p><p>　　(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.</p><p>　　2、求函数的最值与值域的区别和联系</p><p>　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.</p><p>　　如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.</p><p>　　3、函数的最值在实际问题中的应用</p><p>　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.</p><p>　　【(四)、函数的奇偶性】</p><p>　　1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).</p><p>　　正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).</p><p>　　2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：</p><p>　　注意如下结论的运用：</p><p>　　(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;</p><p>　　(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;</p><p>　　(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;</p><p>　　(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。</p><p>　　3、有关奇偶性的几个性质及结论</p><p>　　(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.</p><p>　　(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.</p><p>　　(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.</p><p>　　(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。</p><p>　　(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.</p><p>　　(6)奇偶性的推广</p><p>　　函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。</p><p>　　【(五)、函数的单调性】</p><p>　　1、单调函数</p><p>　　对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>(或x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.</p><p>　　5、复合函数y=f[g(x)]的单调性</p><p>　　若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.</p><p>　　在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.</p><p>　　6、证明函数的单调性的方法</p><p>　　(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或0，则f(x)为增函数;如果f′(x)0)</p><p>　　沿y轴向平移b个单位</p><p>　　y=f(x±a)(a>0)</p><p>　　沿x轴向平移a个单位</p><p>　　y=-f(x)</p><p>　　作关于x轴的对称图形</p><p>　　y=f(|x|)</p><p>　　右不动、左右关于y轴对称</p><p>　　y=|f(x)|</p><p>　　上不动、下沿x轴翻折</p><p>　　y=f-1(x)</p><p>　　作关于直线y=x的对称图形</p><p>　　y=f(ax)(a>0)</p><p>　　横坐标缩短到原来的，纵坐标不变</p><p>　　y=af(x)</p><p>　　纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变</p><p>　　y=f(-x)</p><p>　　作关于y轴对称的图形</p><p>　　【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.</p><p>　　①求证：f(0)=1;</p><p>　　②求证：y=f(x)是偶函数;</p><p>　　③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.</p><p>　　思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.</p><p>　　解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1.</p><p>　　②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.</p><p>　　③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=</p><p>　　所以，所以f(x+c)=-f(x).</p><p>　　两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，</p><p>　　所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.</p><p>　　<strong>圆的方程定义：</strong></p><p>　　圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

　　直线和圆的位置关系：

　　1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

　　①Δ>0，直线和圆相交、②Δ=0，直线和圆相切、③Δ0，则a可以是任意实数;

　　排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数;

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　指数函数

　　(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　(3)函数图形都是下凹的。

　　(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

　　(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　(7)函数总是通过(0，1)这点。

　　(8)显然指数函数无界。

　　奇偶性

　　定义

　　一般地，对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　　形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

　　如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

　　当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

　　知识点：

　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

　　2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)

　　圆的方程定义：

　　圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

　　直线和圆的位置关系：

　　1。直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

　　①Δ&gt;0，直线和圆相交。②Δ=0，直线和圆相切。③Δ&lt;0，直线和圆相离。

　　方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。

　　①dR，直线和圆相离。

　　2。直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程。求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

　　3。直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

　　切线的性质

　　⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

　　⑵过切点的半径垂直于切线；

　　⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；

　　⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心；

　　当一条直线满足

　　（1）过圆心；

　　（2）过切点；

　　（3）垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

　　切线的判定定理

　　经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　切线长定理

　　从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

　　圆锥曲线性质：

　　一、圆锥曲线的定义

　　1、椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

　　2、双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即。

　　3、圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

　　二、圆锥曲线的方程

　　1、椭圆：+=1（a&gt;b&gt;0）或+=1（a&gt;b&gt;0）（其中，a2=b2+c2）

　　2、双曲线：—=1（a&gt;0，b&gt;0）或—=1（a&gt;0，b&gt;0）（其中，c2=a2+b2）

　　3、抛物线：y2=±2px（p&gt;0），x2=±2py（p&gt;0）

　　三、圆锥曲线的性质

　　1、椭圆：+=1（a&gt;b&gt;0）

　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：（±a，0），（0，±b）（3）焦点：（±c，0）（4）离心率：e=∈（0，1）（5）准线：x=±

　　2、双曲线：—=1（a&gt;0，b&gt;0）（1）范围：|x|≥a，y∈R（2）顶点：（±a，0）（3）焦点：（±c，0）（4）离心率：e=∈（1，+∞）（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x

　　3、抛物线：y2=2px（p&gt;0）（1）范围：x≥0，y∈R（2）顶点：（0，0）（3）焦点：（，0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=—

　　幂函数定义：

　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　定义域和值域：

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

　　幂函数性质：

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

　　排除了为0这种可能，即对于x

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

　　可以看到：

　　(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

　　(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

　　(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

　　(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。

　　(6)显然幂函数无界。

　　1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　顶点坐标

　　对称轴

　　y=ax^2

　　(0，0)

　　x=0

　　y=a(x-h)^2

　　(h，0)

　　x=h

　　y=a(x-h)^2+k

　　(h，k)

　　x=h

　　y=ax^2+bx+c

　　(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

　　x=-b/2a

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h>0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h0时，开口向上，当a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a0(a2} ,{x| x-3>2}

　　3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4) Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1) 有限集 含有有限个元素的集合

　　(2) 无限集 含有无限个元素的集合

　　(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

　　即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

　　②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

　　③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

　　④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

　　? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型 交 集 并 集 补 集

　　定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　二、函数的有关概念

　　1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

　　注意：

　　1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;

　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

　　(6)指数为零底不可以等于零，

　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

　　2.值域 : 先考虑其定义域

　　(1)观察法

　　(2)配方法

　　(3)代换法

　　3. 函数图象知识归纳

　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

　　(2) 画法

　　A、 描点法：

　　B、 图象变换法

　　常用变换方法有三种

　　1) 平移变换

　　2) 伸缩变换

　　3) 对称变换

　　4.区间的概念

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　　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

　　(2)无穷区间

　　(3)区间的数轴表示.

　　5.映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

　　6.分段函数

　　(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

　　(2)各部分的自变量的取值情况.

　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

　　补充：复合函数

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

　　二.函数的性质

　　1.函数的单调性(局部性质)

　　(1)增函数

　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质;

　　(2) 图象的特点

　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

　　(3).函数单调区间与单调性的判定方法

　　(A) 定义法：

　　○1 任取x1，x2∈D，且x1

　　○2 作差f(x1)-f(x2);

　　○3 变形(通常是因式分解和配方);

　　○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

　　○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

　　(B)图象法(从图象上看升降)

　　©复合函数的单调性

　　复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

　　8.函数的奇偶性(整体性质)

　　(1)偶函数

　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

　　(2).奇函数

　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

　　(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

　　偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

　　利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

　　○2确定f(-x)与f(x)的关系;

　　○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

　　(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

　　(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

　　9、函数的解析表达式

　　(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

　　(2)求函数的解析式的主要方法有：

　　1) 凑配法

　　2) 待定系数法

　　3) 换元法

　　4) 消参法

　　10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

　　○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

　　○2 利用图象求函数的最大(小)值

　　○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

　　定义：

　　x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

　　范围：

　　倾斜角的取值范围是0°≤α0时α∈(0°，90°)

　　k0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

　　知识点：

　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

　　2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)

　　集合的运算

　　运算类型交 集并 集补 集

　　定义域 R定义域 R

　　值域＞0值域＞0

　　在R上单调递增在R上单调递减

　　非奇非偶函数非奇非偶函数

　　函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

　　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

　　（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

　　（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

　　（3）对于指数函数 ，总有 ；

　　二、对数函数

　　（一）对数

　　1.对数的概念：

　　一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

　　说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；

　　○2 ；

　　○3 注意对数的书写格式.

　　两个重要对数：

　　○1 常用对数：以10为底的对数 ；

　　○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 .

　　指数式与对数式的互化

　　幂值 真数

　　＝ N ＝ b

　　底数

　　指数 对数

　　（二）对数的运算性质

　　如果 ，且 ， ， ，那么：

　　○1 ＋ ；

　　○2 － ；

　　○3 .

　　注意：换底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）.

　　利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） .

　　（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、 ， ③、对数恒等式

　　（二）对数函数

　　1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

　　注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

　　○2 对数函数对底数的限制： ，且 .

　　2、对数函数的性质：

　　a>100时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

　　【(四)、函数的奇偶性】

　　1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

　　正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

　　2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

　　注意如下结论的运用：

　　(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

　　(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

　　(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

　　3、有关奇偶性的几个性质及结论

　　(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

　　(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

　　(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

　　(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

　　(6)奇偶性的推广

　　函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。

　　【(五)、函数的单调性】

　　1、单调函数

　　对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>(或x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

　　5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

　　若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在g(a)，g(b)上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

　　在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

　　6、证明函数的单调性的方法

　　(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或0，则f(x)为增函数;如果f′(x)0)

　　沿y轴向平移b个单位

　　y=f(x±a)(a>0)

　　沿x轴向平移a个单位

　　y=-f(x)

　　作关于x轴的对称图形

　　y=f(|x|)

　　右不动、左右关于y轴对称

　　y=|f(x)|

　　上不动、下沿x轴翻折

　　y=f-1(x)

　　作关于直线y=x的对称图形

　　y=f(ax)(a>0)

　　横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

　　y=af(x)

　　纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

　　y=f(-x)

　　作关于y轴对称的图形

　　【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

　　①求证：f(0)=1;

　　②求证：y=f(x)是偶函数;

　　③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.

　　思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.

　　解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1.

　　②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.

　　③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=

　　所以，所以f(x+c)=-f(x).

　　两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

　　所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.

　　函数的概念

　　函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A—B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.

　　(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

　　(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

　　函数的三要素：定义域、值域、对应法则

　　函数的表示方法：(1)解析法：明确函数的定义域

　　(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

　　(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

　　4、函数图象知识归纳

　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

　　(2)画法

　　A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即平移。

　　(3)函数图像平移变换的特点：

　　1)加左减右——————只对x

　　2)上减下加——————只对y

　　3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

　　4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

　　5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

　　6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

　　函数y=|f(x)|

　　7)函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

　　归纳1

　　1、“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

　　2、“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）

　　实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同”

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　　①任何一个集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集：如果AíB，且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

　　③如果AíB，BíC，那么AíC

　　④如果AíB同时BíA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　归纳2

　　形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的.解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

　　上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

　　当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

　　（2）△=0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

　　（3）△0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K0，则a可以是任意实数；

　　排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况、

　　可以看到：

　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

　　（6）显然幂函数无界。

　　解题方法：换元法

　　解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

　　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

　　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。