8 Classical Orthogonal Polynomials正交多项式
前情提要：第七章通过施密特正交法推导出了得出正交多项式的一般方法。众所周知，这里得出的结论都可以作为一些特殊微分方程的解。
However, there is a more elegant, less general, approach that simultaneously studies most polynomials of interest to physicists. We will employ this approach.
然而，有一种更优雅、更不通用的方法，可以同时研究物理学家感兴趣的大多数多项式。我们将采用这种方法。
Most relevant properties of the polynomials of interest are contained in
感兴趣的多项式的大多数相关性质包含在下面的描述中
【先给出形式】
对于形如这样的函数
如果有以下几个条件成立
1.F1（x）表示关于x的一级多项式。
2.s（x）是一个x次数小于或等于2的多项式，只有实数根。
3.w（x）是一个严格的正函数，可在区间（a，b）内积分，满足边界条件w（a）s（a）=0=w（b）s（b）。
那么Fn（x）是有关x的n级多项式，在区间（a，b），权重w（x）情况下，与任何k<n次多项式pk（x）正交.
These polynomials are collectively called classical orthogonal polynomials.
上述这些多项式统称为经典正交多项式。
Before proving the theorem, we need two lemmas
在证明定理之前，我们需要两个引理
对于所有m<n，所有导数
在x=a和x=b处消失。
我们在有时间时可以补充证明，“感受”也不难理解。
下面正式进入证明
第一行代入，第二行分一次出来应付外面的积分，第三行对剩下部分分部积分再把后面的扔进去（注意交换的是哪两部分）。
如果感觉跟不上，可以看下面本人的手写版本【如果没有写错的话】。
通过上述操作完成了一次降次，接下来我们尝试降到底。
It is customary to introduce a normalization constant in the definition of Fn(x), and write
习惯上，在Fn（x）的定义中引入归一化常数，并改写得
This equation is called the generalized Rodriguez formula. For historical generalized Rodriguez formula reasons, different polynomial functions are normalized differently, which is why Kn is introduced here.
这个方程称为广义 Rodriguez 公式。由于历史上广义 Rodriguez 公式的原因，不同的多项式函数的归一化方式不同，这就是这里介绍 Kn 的原因。
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