不动点迭代法（Fixed Point Iteration）迭代求根的python程序

科技前沿 • 2025-03-14 18:00 • 阅读 67

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迭代法的作用

不动点迭代法

简单迭代法或基本迭代法又称不动点迭代法
1、不动点（FixedPoint）
首先来看一下什么是不动点：
在这里插入图片描述
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换句话说，函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点，下图画出了函数y=cos(x)与y=x在区间[0,π/2]的交点，即cos(x)的不动点：

2、不动点迭代（Fixed Point Iteration）
不动点迭代的基本思想：

也就是说，为了求解方程f(x)=0，首先将方程转换为x=g(x)，然后初始化x0，循环迭代xi+1=g(xi)，直到满足收敛收件。
这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的，比如对于f(x)=x-cos(x)，求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0，即x=cos(x)，因此g(x)=cos(x)。
再例如对于方程：
在这里插入图片描述
可以等价为

还可以等价为

也就是说，将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式，因此对方程f(x)=0来说，g(x)也不是唯一的。
3、不动点迭代的收敛性
这个迭代过程是很简单的，但这里有个关键性的问题：迭代收敛么？即经过N次迭代后是否会收敛于不动点？
在这里插入图片描述
通俗点讲，若要使不动点迭代收敛，则要求φ(x)在区间[a,b]上的函数值也在此区间内，另外还要求φ(x)的斜率绝对值不大于1。其证明过程比较复杂，有兴趣的可以查阅一些相关文献。

例题

求方程式：x³ - 0.165 × x² + 3.993 × 10^-4 = 0在（0，0.11）上的根

先看看不用迭代法计算的结果

from sympy import * from sympy.abc import x def func(x): return x3 - 0.165*x2 + 3.993*10(-4) result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11)) print(result)

讯享网

结果：

讯享网FiniteSet(0.07495)

约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止

代码：

xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 while True: x = x  3 - 0.165 * x  2 + 3.993 * 10  (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) if error < 10(-6): print(f'迭代第{ 
     i}次后，误差小于10^-6') break else: pass

结果：

讯享网迭代第777次后，误差小于10^-6 所求方程式的根为0.0088

迭代至电脑默认误差为0

xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 while True: x = x  3 - 0.165 * x  2 + 3.993 * 10  (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) if error == 0: print(f'迭代第{ 
     i}次后，误差为0') break else: pass print(f'所求方程式的根为{ 
     x_list[-1]}')

结果：

讯享网迭代第3402次后，误差为0 所求方程式的根为0.0

画迭代法

import matplotlib.pyplot as plt xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 x_values = [] y_values = [] while True: x = x  3 - 0.165 * x  2 + 3.993 * 10  (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) x_values.append(i) y_values.append(error) if error == 0: print(f'迭代第{ 
     i}次后，误差为0') break else: pass print(f'所求方程式的根为{ 
     x_list[-1]}') #设置绘图风格 plt.style.use('ggplot') #处理中文乱码 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei'] #坐标轴负号的处理 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #横坐标是迭代次数 #纵坐标是误差值 plt.plot(x_values, y_values, color = 'steelblue', # 折线颜色 marker = 'o', # 折线图中添加圆点 markersize = 1, # 点的大小 ) # 修改x轴和y轴标签 plt.xlabel('迭代次数') plt.ylabel('误差值') # 显示图形 plt.show()

结果：

讯享网迭代第3402次后，误差为0 所求方程式的根为0.0

在这里插入图片描述