前言
三、域
具有特殊性质的环可以被称作域，这种五元组在实际的数学中更加常见。它的定义和性质如下：
可以看到，数学中最常见的“域”这个概念，尽管从小用到大，但没有特别强调过。学到此才意识到它是由此定义的，包括有理数域、实数域、复数域等。
域仍然是一个很大的概念，根据域上集合所含元素数的不同，又可以分为无限域与有限域。
在计算机领域最常见的便是有限域GF（2），通过域的性质可以解释到为什么明明是域上的加法“⊕”会在计算机中用作“异或”，域上的乘法反而在计算机中作为“与”这种加法性质的表示。
在域F的运算具有以下性质：
韩老师没有给出证明，我自己尝试了一一证明，但本人并非数学专业出身，证明过程可能存在纰漏，若有问题还望指正：
至此，我们已经将“域”这个概念以及其上的运算规则理清楚了，按照环上的步骤，开始考虑“域上多项式”这个概念。（其实定义基本相同，只有多项式系数的取值范围有所差异，一个是环，另一个是域）
同样的，域上多项式的加、乘运算也是同环上多项式的加、乘运算相同，但有一种特殊的定义：带余除法。
这个定义极为重要，多项式的关系以及定义大都基于带余除法。
有了因式与倍式的概念，在研究两个多项式时就可以从这两个概念入手，引出“公因式”及“公倍式”的概念。
最高公因式与最小公倍式在定义时特别强调了“首一多项式”，我自己的思考如下：
在定义了公因式这个概念后，我们重新审视带余除法这个等式，发现了一个有趣的引理：
域上多项式集合中的两个多项式间还有什么性质呢？有一个定理极为重要，并且在证明上会引出一个特别的算法。
证明如下：
这个定理看起来不太显眼，但证明过程中所用到的这种逐步展开，再回代的数学思维是很重要的。来学个例题：
至此，我们便可以求两个多项式的最高公因式以及利用两多项式表示最高公因式的方法啦！
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