标题无理数究竟是什么？连续性公理的产物？——读戴德金之二
人类的进步轨迹，很大程度上可以从数学，特别是初等算术中的数字演化中看出点门道。虽说是地理大发现开启了世界的历史，但世界历史的进展似乎总是和算术的进步相关联。从时间节点来看，在15世纪开始航海时代的时候，恰好也是现代算术理论刚刚启动的年代。用美国学者丹齐克的话来描述，现代的算术，其历史还不到四百年。丹齐克出版那本《数 科学的语言》一书的时间是1930年，已经时过近百年矣。这岂不是在表明，现代算术的历史还不到500年么？大概和地理大发现时代处在同一个时间窗口。
而算术理论中的无理数，为这个数字类型建立起理论基础，实际上不过二百年而已。这正如另一本科普著作《无理数的那些事儿》所言，算术理论创新的年代，恰好是1872年那一年。正是在那一年，德国有四部重要的无理数论著同时面世，这一年由此被作者称为“无理数之年”。大概可以说，算术理论从这一年起，在欧洲大陆开始创立自己坚实的理论基础。而在这个时间之前不到20年，大致在1850年代，英国人布尔把数学和逻辑巧妙的结合起来，开创了数理逻辑的新时代。
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为算术理论奠定理论基础，戴德金的著作功不可没。手头的《数论随笔》（essays on the theory of numbers)一书，正是铭刻戴德金贡献的一个纪念碑。他在这个随笔中的第一篇文章《连续性与无理数》（continuity and irrational numbers），正好是发表在1872年，属于那个“无理数之年”中，出版的四部著作中的一本。该文用一个日常语词“切割”（cut），第一次给无理数一个可以说逻辑上完整的定义。这为其后自然数的公理化系统准备了理论条件，进而为现代逻辑的进一步发展，准备了条件。
戴德金的著作，为我们勾画了有理数和直线的类似，更重要的，他让我们用切割来理解无理数。
《连续性与无理数》
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