随机向量的概率密度函数
需要掌握概念：
随机变量、联合密度函数、边缘分布函数、条件概率密度函数
随机变量
定义：对任意实数x，{ω：X（ω）<=x}∈F(理解)
X(w)：（1）实值函数 （2）X(w)是可测的
离散型随机变量的X的取值的期望：
散型随机变量baiX的取值和为X对应取值的概率为：X1、X2、X3……Xn，p(X1)、p(X2)、p(X3)……p(Xn)、可则：期望为
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连续型随机变量的X的取值的期望：
f ( x ) : 为 概 率 密 度 函 数 f(x):为概率密度函数 f(x):为概率密度函数
联合概率密度函数
已知连续型随机变量 X , Z X,Z X,Z分别为：
X = [ X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n ] t , Z = [ Z 1 , Z 2 , Z 3 , . . . , Z m ] t X=\left[\begin{matrix} X_1,X_2,X_3,...,X_n\\ \end{matrix}\right]^t,Z=\left[\begin{matrix} Z_1,Z_2,Z_3,...,Z_m\\ \end{matrix}\right]^t X=[X1,X2,X3,...,Xn]t,Z=[Z1,Z2,Z3,...,Zm]t
Y = [ X Z ] = [ Y 1 Y 2 Y 3 . . . Y n + m ] Y=\left[\begin{matrix} X\\Z\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} Y_1\\Y_2\\Y_3\\...\\Y_{n+m} \end{matrix}\right] Y=[XZ]=⎣⎢⎢⎢⎢⎡Y1Y2Y3...Yn+m⎦⎥⎥⎥⎥⎤
定义联合概率密度函数为：详细
E ( Y ) = ∫ − ∞ ∞ y p ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ p ( x , y ) d x d y E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}yp(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}p(x,y)dxdy E(Y)=∫−∞∞yp(y)dy=∫−∞∞∫−∞∞p(x,y)dxdy
p ( y ) = p ( y 1 , y 2 , . . . , y n + m ) = p ( x , z ) = p ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , z 1 , z 2 , . . . , z m ) p(y)=p(y_1,y_2,...,y_{n+m})=p(x,z)=p(x_1,x_2,x_3,...,x_n,z_1,z_2,...,z_m) p(y)=p(y1,y2,...,yn+m)=p(x,z)=p(x1,x2,x3,...,xn,z1,z2,...,zm)
边缘密度函数:
p ( x ) = ∫ − ∞ ∞ p ( x , z ) d z , x ∈ R p(x)=\int_{-\infty}^{\infty}p(x,z)dz,x\in R p(x)=∫−∞∞p(x,z)dz,x∈R
p ( z ) = ∫ − ∞ ∞ p ( x , z ) d x , y ∈ R p(z)=\int_{-\infty}^{\infty}p(x,z)dx,y\in R p(z)=∫−∞∞p(x,z)dx,y∈R
协防差距阵：
C o v ( X , Y ) = E ( X − E ( X ) ( Y − E ( Y ) ) ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(X−E(X)(Y−E(Y)))=E(XY)−E(X)E(Y)
条件概率密度函数
在Z=z条件下，X的概率密度函数为：
p ( x ∣ z ) = p ( x , z ) p ( z ) ( p ( z ) 为 边 缘 密 度 函 数 ) p(x|z)=\frac{p(x,z)}{p(z)}(p(z)为边缘密度函数) p(x∣z)=p(z)p(x,z)(p(z)为边缘密度函数)
在Z=z条件下，X的数学期望为：
C X ∣ Z = E [ X ∣ z ] = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ∣ z ) d z C_{X|Z}=E[X|z]=\int_{-\infty}^{\infty}xp(x|z)dz CX∣Z=E[X∣z]=∫−∞∞xp(x∣z)dz
在Z=z条件下，X的条件方差为：
C X ∣ Z = C o v ( X ∣ z , X ∣ z ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − E ( X ∣ z ) ( x − E ( X ∣ z ) p ( x ∣ z ) d x C_{X|Z}=Cov(X|z,X|z)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X|z)(x-E(X|z)p(x|z)dx CX∣Z=Cov(X∣z,X∣z)=∫−∞∞(x−E(X∣z)(x−E(X∣z)p(x∣z)dx
贝叶斯公式（用也称逆概率公式）
p ( x ∣ z ) = p ( x , z ) p ( z ) ( p ( z ) 为 边 缘 密 度 函 数 ) p(x|z)=\frac{p(x,z)}{p(z)}(p(z)为边缘密度函数) p(x∣z)=p(z)p(x,z)(p(z)为边缘密度函数)
p ( z ∣ x ) = p ( x , z ) p ( x ) ( p ( x ) 为 边 缘 密 度 函 数 ) p(z|x)=\frac{p(x,z)}{p(x)}(p(x)为边缘密度函数) p(z∣x)=p(x)p(x,z)(p(x)为边缘密度函数)
p ( x , z ) = p ( z ∣ x ) p ( x ) p(x,z)=p(z|x)p(x) p(x,z)=p(z∣x)p(x)
最优估计的基本概念
定义：在某一估计准则（指标函数）下，按照统计意义使估计值（实际的解）达到最优。
假设测量量与系统之间关系为：(系统状态X与估计值没有函数上的关系，只有概率上的关系)
Z : 观 测 量 Z:观测量 Z:观测量
h : 为 观 测 模 型 函 数 h:为观测模型函数 h:为观测模型函数
X : 系 统 状 态 量 X:系统状态量 X:系统状态量
V : 干 扰 噪 声 V:干扰噪声 V:干扰噪声
X ^ : 为 状 态 的 估 计 值 \hat{X} :为状态的估计值 X^:为状态的估计值
X ~ : 估 计 值 与 系 统 状 态 误 差 \tilde{X}:估计值与系统状态误差 X~:估计值与系统状态误差
Z = h ( X , V ) Z=h(X,V) Z=h(X,V)
由于干扰噪声存在，使用样本误差计算的解记为 X ^ = X ^ ( Z ) \hat{X}=\hat{X}(Z) X^=X^(Z)
估计值与系统状态误差为： X ~ = X − X ^ ( Z ) \tilde{X}=X-\hat{X}(Z) X~=X−X^(Z)
均方误差（Mean Square Error,MSE）
M S E [ X ^ ] = E [ X ~ X T ~ ] = E [ X − X ^ ( Z ) ] [ X − X ( Z ) T ^ ] MSE[\hat{X}]=E[\tilde{X} \tilde{X^T}]=E[X-\hat{X}(Z)][X-\hat{X(Z)^T}] MSE[X^]=E[X~XT~]=E[X−X^(Z)][X−X(Z)T^]
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