这里简要介绍一下如何使用最大似然估计方法来拟合威布尔分布:

1. 假设样本数据x1,x2,…,xn来自于一个未知的威布尔分布。威布尔分布的概率密度函数为:

f(x|λ) = λe^(-λx)

其中λ为位置参数。

1. 根据最大似然原理,我们要找到使样本数据的似然函数L(λ|x1,x2,…,xn)达到最大值的λ值。

L(λ|x1,x2,…,xn) = Πi=1^n f(xi|λ) = λ^n e^(-λΣxi)

1. 对数似然函数为:

l(λ|x1,x2,…,xn) = nlogλ - λΣxi

1. 将对数似然函数对λ求导并令导数为0,可以得到最大似然估计λˆ的值:

λˆ = Σxi / n

也就是样本数据的平均值。

1. 所以,通过最大似然估计,我们可以得到威布尔分布位置参数λ的一个无偏估计λˆ,它等于样本数据的平均值。

以上就是利用最大似然估计方法拟合威布尔分布的基本步骤。

数据如下:

           4.29
          7.937
          6.625
          5.894
          4.713
          6.074
          7.801
           11.8
          10.09
          10.24
          1.417
          6.858
          13.67
          9.504
          3.616
          3.436
          6.622
          12.37
          4.054
          2.048
          8.067
          4.067
          5.543
          7.303
          2.023
          7.837
          7.595
          8.078
          9.846
          6.641
          7.285
          8.367
          4.297
          10.08
           5.64
          6.449
          6.506
          9.674
          3.702
         0.1202
          3.802
          4.733
          8.821
          5.303
          5.565
          5.053
          9.787
          4.315
          16.42
          6.009
          3.265
          8.688
          5.754
          2.051
          7.674
          12.03
          6.084
          9.038
          6.114
          3.958
          12.74
          5.609
          5.055
          5.067
          19.56
          11.24
          4.638
          5.062
          6.849
          9.243
          8.961
          9.914
          19.08
          2.613
          6.731
          7.443
          2.265
          7.442
          9.509
          11.36
          3.309
          5.499
          16.94
          3.706
          2.255
          10.59
          6.108
           5.18
          6.358
          4.978
          4.998
          6.615
          7.083
          1.483
          4.607
          8.821
          8.002
          6.322
          10.81
          3.682

程序如下:

clc;close all;clear all;warning off;%清除变量

y=wblrnd(8,2,100,1)+1*rand(100,1);% 随机数
y
x0=[1,1];

[parmhat1,ML]=fminsearch(@(x) myfun(y,x),x0);
disp('最大似然估计风速得到的威布尔分布参数');
parmhat1
ywbl=wblrnd(parmhat1(1),parmhat1(2),length(y),1);

figure;
plot(ywbl,'b-');

title('威布尔分布','fontname','宋体');

figure;
wblplot(y);
title('威布尔分布概率图','fontname','宋体');

figure; probplot('weibull',y);

[counts,centers]=hist(y,100);
a0=counts/sum(counts);
g=cumsum(a0);

figure;
plot(centers,g,'b*'); %画出概率密度分布图
hold on;
plot(sort(y),a1,'r');
legend({'样本','拟合'},'fontname','宋体');
xlabel('数值','fontname','宋体');
ylabel('累积概率','fontname','宋体');
title('威尔分布累积概率','fontname','宋体');

function y=myfun(data,x)
a=x(1);% 分布的参数1
b=x(2);% 分布的参数2

% y = wblpdf(data,A,B);% 概率
p=b/a*(data/a).^(b-1).*exp(-(data/a).^b);% 威布尔分布的概率密度函数
y=-sum(log(p));% 似然函数值最大化
 

程序结果如下:

parmhat1 =