1. 约数
约数，又称因数。整数 a a a 除以整数 b ( b ≠ 0 ) b(b≠0) b(b=0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a a a 能被 b b b 整除，或 b b b 能整除 a a a。 a a a 称为 b b b 的倍数， b b b 称为 a a a 的约数。
2. 试除法求约数
试除法求约数的原理和试除法判断质数的原理基本一致，但是注意求约数的时候要从 1 1 1 开始，时间复杂度是 O ( s q r t ( n ) ) O(sqrt(n)) O(sqrt(n))。
#include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; // 求 x 的所有约数 vector<int> get_divisors(int x) {
vector<int> res; for (int i = 1; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) {
res.push_back(i); if (i != x / i) res.push_back(x / i); } sort(res.begin(), res.end()); return res; } 讯享网
3. 最大公约数—欧几里得算法（辗转相除法）
首先，如果 d ∣ a d|a d∣a，并且 d ∣ b d|b d∣b，那么 d ∣ x a + y b d|xa+yb d∣xa+yb
我们先直接上结论，记 x , y x, y x,y 的最大公约数为 g c d ( x , y ) gcd(x, y) gcd(x,y)，则 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b) = gcd(b, a \% b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
证明：
因为 a % b = a − ⌊ a b ⌋ b a \% b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b a%b=a−⌊ba⌋b，因为 ⌊ a b ⌋ \lfloor \frac{a}{b} \rfloor ⌊ba⌋ 是一个整数，所以我们可以直接将其记为 c c c。因此，如果 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b) = gcd(b, a \% b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 成立，则有 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a − c ⋅ b ) gcd(a,b) = gcd(b, a - c·b) gcd(a,b)=gcd(b,a−c⋅b) 成立，所以我们只要证明 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a − c ⋅ b ) gcd(a,b) = gcd(b, a - c·b) gcd(a,b)=gcd(b,a−c⋅b) 成立即可。
对于 ( a , b ) (a,b) (a,b) 中的任何一个约数 d d d，都有 d ∣ a d|a d∣a 和 d ∣ b d|b d∣b，而 d ∣ a = d ∣ a − c ⋅ b + c ⋅ b d|a=d|a-c·b+c·b d∣a=d∣a−c⋅b+c⋅b，又因为 d ∣ c ⋅ b d|c·b d∣c⋅b 所以 d ∣ a − c ⋅ b d|a-c·b d∣a−c⋅b，因此 ( a , b ) (a,b) (a,b) 与 ( b , a % b ) (b, a \% b) (b,a%b) 的公约数集合是相同的，所以说 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a − c ⋅ b ) gcd(a,b) = gcd(b, a - c·b) gcd(a,b)=gcd(b,a−c⋅b)。
讯享网int gcd(int a, int b) {
// gcd(a, 0) = a，因为 0 可以整除任何一个数 return b ? gcd(b, a % b) : a; }
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