本篇因为是考试后写的，虽然保不准也算下一次考试前，创作初衷也就今天突然想总结一下之前一直在用的公式，周期可能也就这两天，但参考了一些别人的博文或者帖子，觉得还是与自己想的侧重点有点不太一样，所以就有了上面这张思维导图的大纲，如果不太完整的地方，后期我会去尽量完善，本篇公式有些图是我自己做的，有些是参考文献中引用的几篇知乎帖子，考虑到公式美观性，与参考文献也没有对公式加上水印，所以本篇大部分图片都去除了，希望能作为以后的备用资料。
极限
极限的概念与性质
两个重要极限：
lim x → 0 sin x x = 1 lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\\ \\ &\lim_{x\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=\mathrm{e}\\ \end{aligned} x→0limxsinx=1x→∞lim(1+x1)x=e
无穷小阶的概念与比较
lim x → a f ( x ) g ( x ) = { l ≠ 0 且 ≠ 1 , f ( x ) 与 g ( x ) 同阶而不等价, 1 , f ( x ) 与 g ( x ) 等价 0 , f ( x ) 比 g ( x ) 高阶 ∞ , f ( x ) 比 g ( x ) 低阶 \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases}l \neq 0 \text { 且 } \neq 1, & f(x) \text { 与 } g(x) \text { 同阶而不等价, } \\ 1, & f(x) \text { 与 } g(x) \text { 等价 } \\ 0, & f(x) \text { 比 } g(x) \text { 高阶 } \\ \infty, & f(x) \text { 比 } g(x) \text { 低阶 }\end{cases} x→alimg(x)f(x)=⎩ ⎨ ⎧l=0 且 =1,1,0,∞,f(x) 与 g(x) 同阶而不等价, f(x) 与 g(x) 等价 f(x) 比 g(x) 高阶 f(x) 比 g(x) 低阶
无穷小阶过程与方式
常用等价无穷小：
导数
基本求导公式
n阶导数
泰勒公式及其应用
一元微分几何与物理应用
反函数求导公式：
φ ′ ( x ) = d x d y = 1 f ′ ( x ) φ ′ ′ ( x ) = d 2 x d y 2 = − f ′ ′ ( x ) f ′ 3 ( x ) \begin{aligned} &\varphi ^{\prime}(x)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f^{\prime}(x)}\\ \\ &\varphi ^{\prime\prime}(x)=\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime3}(x)}\\ \end{aligned} φ′(x)=dydx=f′(x)1φ′′(x)=dy2d2x=−f′3(x)f′′(x)
参数方程求导公式：
设 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)是由 { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array}\right. { x=φ(t)y=ψ(t)所组成的参数方程，则一阶求导为：
d y d x = d y d t d x d t = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi ^{\prime}(t)}{\varphi ^{\prime}(t)} dxdy=dtdxdtdy=φ′(t)ψ′(t)
二阶求导为：
d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d d t ( d y d x ) d x / d t = [ ψ ( t ) φ ( t ) ] φ ′ ( t ) = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) φ ′ 3 ( t ) \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx}=\frac{\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx/dt}=\frac{\left[ \frac{\psi (t)}{\varphi (t)} \right]}{\varphi ^{\prime}(t)}=\frac{\psi ^{\prime\prime}(t)\varphi ^{\prime}(t)-\psi ^{\prime}(t)\varphi ^{\prime\prime}(t)}{\varphi ^{\prime3}(t)} dx2d2y=dxd(dxdy)=dx/dtdtd(dxdy)=φ′(t)[φ(t)ψ(t)]=φ′3(t)ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)
常用曲率计算公式：
微分中值定理
渐近线
罗尔定理
定义：
设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，在(a,b)内可导，又 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)，则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right) ∃ξ∈(a,b)使得 f ′ ( ξ ) = 0 f^{\prime}\left( \xi \right) =0 f′(ξ)=0
图形：
拉格朗日定理
定义：
设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，在(a,b)内可导，则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right) ∃ξ∈(a,b)使得 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f\left( b \right) -f\left( a \right) =f^{\prime}\left( \xi \right) \left( b-a \right) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
图形：
等价形式：
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ) , 0 < θ < 1 f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a), 0<\theta<1 f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1
柯西定理
定义：
设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，在(a,b)内可导且 g ′ ( x ) ≠ 0 g^{\prime}\left( x \right) \ne 0 g′(x)=0，则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left( a,b \right) ∃ξ∈(a,b)使得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)，即为：
F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) [ g ( x ) − g ( a ) ] F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)] F(x)=f(x)−f(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)[g(x)−g(a)]
定积分与应用
定积分公式
常用分部积分
伽玛函数积分
（有这一章是因为去年李林卷有很多这方面的题，虽然最后没考但复习了）
伽玛函数基本公式为：
Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x = x = t 2 2 ∫ 0 + ∞ t 2 α − 1 e − t 2 d t \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} d x \stackrel{x=t^{2}}{=} 2 \int_{0}^{+\infty} t^{2 \alpha-1} e^{-t^{2}} d t Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx=x=t22∫0+∞t2α−1e−t2dt
下面是一些最常用能直接得出结果的公式：
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