三角函数：加减法公式

科技前沿 • 2025-01-05 11:35 • 阅读 64

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这篇我们推导三角函数中加减法与和差化积公式。

1.加减法公式，加减法公式主要针对“普通”角变“特殊”角，这个意义就在于，我们知道一些特殊角度的值，比如：

sin30° = 1/2，sin60° = √3/2 ，sin45° = √2/2

那么sin75° = sin（45°+30°） = sin45°+sin30°？

亦或者sin15° = sin（45°-30°） = sin45° - sin30°？

这里到底能不能直接用加减法去做运算呢，我们来通过绘画的方式展现到底sin75°或者说sin（α+β）度和sinα与sinβ的关系，如下图：

上面我们建立辅助用的单位圆，然后根据余弦定理推导了最简单的cos（α-β） = cosαcosβ+sinαsinβ，接下来继续推导，如下图：

这里我们用γ = -β去做替换，就能得到cos(α+γ) = cosαcosγ - sinαsinγ

既然cos推导完毕，接下来我们推到sin，前面我们推过：

sinα = -cos(90°+α)

cosα = sin（90°+α）

接下来我们继续用代换法，如下图：

上面我们继续使用γ = 90°+α带入，然后利用直角三角形内角公式可以得出：

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

已经推导到这里了，那么最后的sin(α-β) = ？，这就简单了，只需要带入γ = -β就能得出：

sin（α-（-β）） = sinαcos（-（-β）） - cosαsin（-（-β））

因为γ = -β

所以

sin（α-γ） = sinαcos（-γ）-cosαsin（-γ）

sin（α-γ） = sinαcosγ + cosαsinγ

推导到这里

我们就知道sin75° = sin30°cos45° + cos30°sin45°

最后我们就用程序测试一下呗，如图：

using System.Collections; using System.Collections.Generic; using UnityEngine; public class AngleMathFunc : MonoBehaviour { void Start() { int angle = 75; //计算cos(α+γ) = cosαcosγ - sinαsinγ float cosangle = Mathf.Cos(30) * Mathf.Cos(45) - Mathf.Sin(30) * Mathf.Sin(45); float apicosangle = Mathf.Cos(angle); #if UNITY_EDITOR Debug.LogFormat("cosangle = {0} apicosangle = {1}", cosangle, apicosangle); #endif //计算sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ float sinangle = Mathf.Sin(30) * Mathf.Cos(45) + Mathf.Cos(30) * Mathf.Sin(45); float apisinangle = Mathf.Sin(angle); #if UNITY_EDITOR Debug.LogFormat("sinangle = {0} apisinangle = {1}", sinangle, apisinangle); #endif } }

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可以看出公式计算结果和函数api计算结果是一样的

三角函数：加减法公式

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