有理函数积分

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有理函数积分，一共分为三步：
①有理函数拆分
②求待定系数
③积分
一、有理函数拆分
有理函数拆分就是需要把被积函数拆开成若干项简单真分式相加。
（真分式：分子最高次幂＜分母最高次幂）
简单真分式，指的是 $\frac{1}{（x-A）^p}$ 和 $\frac{1}{(x^2+Mx+N)^q}$ 类型的分式，其中， $x^2+Mx+N$ 在实数范围内不能因式分解。
有理函数拆分步骤
1.确保有理函数是真分式，如果有理函数不是真分式，需要把它拆分成多项式和真分式之和。假设 $\frac{R(x)}{P(x)}=R_1（x）+\frac{r(x)}{P(x)}$ ，其中 $\frac{r(x)}{P(x)}$ 为真分式，然后继续对 $\frac{r(x)}{P(x)}$ 进行拆分。
2.在实数范围内分母因式分解彻底，设为 $\frac{r(x)}{P(x)}=\frac{r(x)}{(x-A)^p(x^2+Mx+N)^q}$
3.拆分. $\frac{r(x)}{(x-A)^p(x^2+Mx+N)^q}$
$=\frac{a_1}{x-A}+\frac{a_2}{(x-A)^2}+...+\frac{a_p}{(x-A)^p}+\frac{b_1x+c_1}{x^2+Mx+N}+\frac{b_2x+c_2}{(x^2+Mx+N)^2}+...+\frac{b_qx+c_q}{(x^2+Mx+N)^q}$
下面举两个简单的例子：
在这里插入图片描述
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下面再举两个例子：

二、求待定系数

有理函数会拆分了，接下来需要把待定系数求出来，主要有如下几个方法：
①构造方程组法.通分化简，相同次幂的系数相同，构造方程组，解出待定系数。
②留数法.等式两边同时乘以某个因子，再令该因子为零，解出待定系数。
③极限法.如果已经求得几个待定系数，可以用对x取极限的方法求得剩余待定系数。
④特殊值法.如果已经求得几个待定系数，可以用对x取特殊值的方法求得剩余待定系数。
我们从易到难，进行举例。

在这里插入图片描述
将此真分式拆分成：

我们可以利用构造方程组法，将等式右边进行通分，根据待定系数法求出a，b，c。
但显然这个方法有点繁琐，所以我们用留数法。
什么是留数法呢？
以上述为例，先将等式两边同时乘以（x-1），然后右边就得到了a+==（x-1）（含b，c因子）==这时，直接令x=1,等式右边就只是留下了a，进而解出a。
同理，解出b和c。

在这里插入图片描述
解出a，b和c之后，就可以很快做出来这道题目了。

接下来我们看这道题目。

首先还是要进行拆分，这是一个真分式，而且分母也已经是最简形式了。

拆分之后，接下来我们需要解出a，b，c。
同样，我们使用留数法。
对于a，我们等式两边同时乘以x，然后令x=0,解出a。
在这里插入图片描述
我们如同上述，解出b，等式两边同时乘以（x+1）

在这里插入图片描述
但是此时这样做就有问题了！等式右边会出现无穷大的情况。
为什么会出现这种情况呢，这是因为有 $\frac{c}{(x+1^2)}$ 。
遇到这类情况我们一般要先解决分母次数更高的那一项。对于这道题，即先解出c。
在这里插入图片描述
这时，只剩下b这个未知数了，我们可以利用特殊值法，将x=1代入等式，解出b。

在这里，我们也可以使用取极限法，如下。

接下来，我们看下一个例子。

首先初步判断，这是一个假分式，我们需要将其进行拆分成一个x的多项式＋一个真分式。
在这里插入图片描述
对于x的积分，我们是清楚的，主要要解决第二项这个真分式。
注意到它的分母是可以进一步化简的，因此：

然后，我们要进行下一步的拆分。

拆分之后，我们需要解出a，b，c。
对于a来说，根据留数法，是很容易解出来的。
在这里插入图片描述
但是对于bx+c，我们能否根据留数法解出来呢？注意到， $x^2-x+1$ 是恒大于0的。它无法使得出它之外的其他项（即有a的那一项）变为0的。
这时我们使用极限法。

解出a，b对于c我们可以根据特殊值法解出c。
在这里插入图片描述
总结：
①若因子 $\frac{1}{(x-A)^p}$ 最高次幂的系数，p＝1,可以直接用留数法。
②若因子 $\frac{1}{(x-A)^p}$ 其他次幂的系数，p＝2,可以通过特殊值法或者极限法求得。
③因子 $\frac{1}{(x^2+Mx+N)^q}$ 一般用特殊值法和极限法求得待定系数。

三、积分
求解出待定系数，然后就可以积分了。
以上述的例2和例3为例，完成上述例子。
例2:

在这里插入图片描述
例三：

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