欧拉公式 Euler‘s Formula

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欧拉公式是数学中最重要的公式之一, 它涉及到了复数, 无理数, 三角函数, 简单优美

$e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$

欧拉公式代表的含义并不是欧拉最先发现的, 1714年英国物理学家和数学家罗杰·柯茨在一个公式中建立了对数, 三角函数和虚数之间的关系, 在1740年前后, 欧拉通过另一种形式得到了等价的公式.

$i\theta = ln\left(cos(\theta) + isin(\theta)\right)$

如果把 $\theta$ 的值特殊化为 $\theta = \pi$ ，就得到了欧拉恒等式

$e^{\pi i} = -1$

自然常数e

自然常数e是一个特殊的常数, 它的特性是 $ \left ( e^{x} \right )’ = e^{x} $, 即指数函数的导数还是自身

e的定义如下

$e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} $
或
$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x}$

这个极限收敛, 值约为2.71828

对 $e^x$ 的导数不变性的证明:

因为当e趋于无穷小时, $e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} $ (这里实际上包含一个物理意义, 在 $\lim_{x \to 0}$ 时 $e^x$ 和 $y = x$ 的曲线是无限接近的)

对其变形可得

$e^x = lim_{x \to 0}1 + x$ ,

$lim_{x \to 0}e^x - 1$ ,

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$ ,

于是根据导数的定义，对于 $e^x$ , 我们给自变量x一个微小增量dx，可以得到

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$\frac{e^{(x+dx)}-e^{x}}{dx}$

$\frac{e^x * e^{dx} - e^x}{dx}$

$e^x * \frac{e^{dx} - 1}{dx}$ , 将上面的等式代入

$e^x * 1 = e^x = y$

自然常数e的指数函数

$f(x) = e^x$ 的泰勒级数展开

$\frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = \sum_{i=0}^{n} \frac{x^n}{n!}$

当 $i\theta$ 时, $exp(i\theta)$ 就成为了复平面上的一个圆

$e^{i(0 + 2n\pi)} = 1$

$e^{i(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)} = i$

$e^{i(\pi + 2n\pi)} = -1$

$e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi)} = -i$

数值验证

用一小段c代码验证 $e^{i(\pi + 2n\pi)} = -1$

#define PI 3. #define STEP 18 int main(void) { 
    int32_t i = 0; int64_t factorial = 1; double real = 1, imaginary = 0, pp = 1, curr; for (i = 0; i < STEP; i++) { 
    pp = pp * PI; factorial = factorial * (i + 1); curr = pp / factorial; if (i % 4 == 0) imaginary += curr; else if (i % 4 == 1) real -= curr; else if (i % 4 == 2) imaginary -= curr; else real += curr; printf("%3d - %20.6f / %25lu = %f, %10f %10f\r\n", i, pp, factorial, curr, real, imaginary); } }

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当step为18时, 其输出为

讯享网 0 - 3. / 1 = 3., 1.000000 3. 1 - 9. / 2 = 4., -3. 3. 2 - 31.006275 / 6 = 5., -3. -2.026120 3 - 97. / 24 = 4.058712, 0. -2.026120 4 - 306.019659 / 120 = 2., 0. 0. 5 - 961. / 720 = 1., -1. 0. 6 - 3020. / 5040 = 0., -1. -0.075221 7 - 9488. / 40320 = 0., -0. -0.075221 8 - 29809.094757 /  = 0.082146, -0. 0.006925 9 - 93648.031501 /  = 0.025807, -1.001829 0.006925 10 - . /  = 0.007370, -1.001829 -0.000445 11 - . /  = 0.001930, -0. -0.000445 12 - . /  = 0.000466, -0. 0.000021 13 - .003250 /  = 0.000105, -1.000004 0.000021 14 - . / 00 = 0.000022, -1.000004 -0.000001 15 - . / 000 = 0.000004, -1.000000 -0.000001 16 - . / 6000 = 0.000001, -1.000000 0.000000 17 - . / 28000 = 0.000000, -1.000000 0.000000

应用

欧拉公式中, $cos(\theta)$ 是实部, $sin(\theta)$ 是虚部, 分别可以表示为
$\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... = \sum_{i=0}^{n} (-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!}$

$\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... = \sum_{i=0}^{n} (-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!}$

这样就建立了三角函数和普通指数运算的桥梁, 在计算机上, 计算三角函数 sin, cos 以及其派生出的其他数值, 都可以通过泰勒级数进行计算, 根据需要可以通过循环次数控制精度.

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
e^(iπ) in 3.14 minutes, using dynamics | DE5

欧拉公式 Euler‘s Formula

自然常数e

自然常数e的指数函数

数值验证

应用

参考

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