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最近很多学生家长问我正数和负数是有理数吗?下面这个问题王先生会给你一个答案。
有理数可以分为整数和分数,也可以分为正有理数、0和负有理数。而不是分成正数,负数,零。我举个反例说整数是有理数。根号下的2是正数,但不是有理数,而是无理数;还有圆周率,也是正的,但是不理性,不理性!
1.1正数和负数
前面有负号“-”的非0数字称为负数。之前学过的0以外的数叫正数。
0既不是正数也不是负数,0是正数和负数的分界线。
同一问题中,正数和负数分别表示的量含义相反。
1.2有理数
1.2.1有理数——正整数、0和负整数统称为整数,正负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。
计数轴
具有指定原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。数轴的作用:所有有理数都可以用数轴上的点来表示。
注意:(1)数轴的原点、正方向、单位长度缺一不可。⑵同一数轴的单位长度不能改变。
一般如果是正数,数轴上代表A的点在原点的右侧,离原点的距离是一个单位长度;代表数字-a的点在原点的左边,离原点的距离是一个单位长度。
逆数
只有两个符号不同的数叫做倒数。数轴上代表相反数的两个点关于原点对称。
在任一数字前加一个“-”号,新数字代表原数字的反义词。
绝对值
一般数轴上代表数A的点与原点的距离称为数A的绝对值。
正数的绝对值就是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序是从小到大,即左边的数小于右边的数。
比较有理数的大小:(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数。⑵两个负数,较大的绝对值较小。
1.3有理数的加法和减法
1.3.1有理数加法
有理数的加法法则:(1)将两个符号相同的数相加,取相同的符号,将绝对值相加。
⑵将两个绝对值不同的数相加,取绝对值较大的加数的符号,用绝对值较大的数减去绝对值较小的数。将两个相反的数字相加得到0。(3)在0上加一个数,还是得到这个数。
两个数相加,交换加数的位置,和不变。加法交换律:a+b=b+a
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
1.3.2有理数减法
有理数的减法可以转化为加法。
有理数减法定律:减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)
1.4有理数的乘法和除法
1.4.1有理数乘法:两个数相乘,同号为正,异号为负,绝对值相乘。
任何数字乘以0都是0。乘积为1的两个数互为倒数。
将几个不为0的数相乘,当负因子的个数为偶数时,乘积为正;当负因子的个数为奇数时,乘积为负。
两个数相乘,交换因子的位置,乘积相等。ab=ba
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,乘积相等。c=a(公元前)
一个数乘以两个数之和,等于这个数分别乘以这两个数,然后乘积相加。a(b+c)=ab+ac
数字和字母相乘的书写规范:
(1)数字与字母相乘,乘法符号应省略,或“”(2)数字与字母相乘。当系数为1或-1时,应省略1,不写。
⑵用字母乘以谱带分数,谱带分数要变成假分数。
用字母X代表任意有理数。2和X的乘积是2x,3和X的乘积是3x。那么公式2x+3x就是2x和3x之和。2x和3x称为该公式的项,2和3分别是两项的系数。
一般在组合字母因子相同的公式时,只需要将它们的系数组合起来,取结果作为系数,乘以字母因子,即ax+bx = (a+b) x。
上式中,x是字母因子,a和b分别是ax和bx的系数。
支架拆除规则:
括号前面有“+”。删除括号和括号前的“+”,括号中的所有项目都不会改变它们的符号。
括号前面有“-”。删除括号和括号前的“-”号,括号中的所有项目都会改变它们的符号。
括号外的因子为正数,去掉括号后公式的符号与原括号中相应公式的符号相同;括号外的因子为负,去掉括号后公式的符号与原括号中对应公式的符号相反。
1.4.2有理数的除法
有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数。a÷b=a?(b≠0)
两个数相除,同号为正,异号为负,绝对值相除。用0除以任何不等于0的数,得到0。
因为有理数的除法可以转化为乘法,所以我们可以利用乘法的运算性质来简化运算。乘除混合运算往往是先把除法变成乘法,再确定乘积的符号,最后求结果。
1.5有理数的幂
1.5.1幂:求n个恒等因子的乘积的运算称为幂,幂的结果称为幂。在an中,a称为基数,n称为指数。当把an看成a的n次方的结果时,也可以读作a的n次方。
负数的奇次方为负,负数的偶次方为正。正数的任意次方为正,0的任意正整数次方为0。
有理数混合运算的运算顺序:
(1)先乘幂,再乘除,最后加减;⑵同层操作,从左至右;(3)如果有括号,先做括号内的运算,按照括号、中括号、大括号依次进行。
科学记数法
大于10的数字以a×10n的形式表示(其中A是只有一个整数位的数字,N是正整数),使用科学记数法。
使用科学记数法来表示n位整数,其中10的指数是n-1。
1.5.3近似值和有效数字
与实际数接近,但与实际数不同的数称为约数。精度:一个相近的数四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位。
从数字左边的第一个非零数字到最后一个数字,所有数字都是该数字的有效数字。
对于用科学记数法表示的数a×10n,规定其有效数为a中的有效数。
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