棱锥表面积公式(三棱柱表面积的计算公式)

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

前段时间有人问，球的体积计算公式是什么？

由于长期对各种搜索的依赖，再加上睡觉、玩剧、电竞等一系列新兴趣的发展，这些耳熟能详的公式早已被我遗忘。然后我拿起笔试着推导了一下，震惊的发现基本的微积分计算规则好像有点生疏了。

于是我开始了相关的探索。半天之后，我成功地不仅计算出了一个球的表面积，还计算出了一个球的体积。这个过程和微积分无关。那么没有微积分怎么算一个球呢？

首先，微积分这个曲线计算的利器已经被抛弃了。我们的替代工具是:一点点相似三角形的知识，一点点空之间的想象，还有祖卓原理，中国古代数学家智慧的结晶。

计算一个球的表面积！

众所周知，球表面积的公式是4πr2，正好是同半径圆面积的4倍，令人深思。为什么正好是四次？圆形区域和球体区域之间有什么不可告人的秘密吗？顺着这个思路走下去，你可能会觉得完全的无助，无力，可怜，无助。

这是我最初的心路历程，直到我发现了另一个秘密:4πr2正好是这个球体外接圆的外围面积。

试想一下，如果把球的表面分成小块，向四周水平投影，按理说，扔出去的小块正好可以盖住外面的“圆柱体”。因为圆柱体的面积是周长乘以圆柱体的高度:2πr*2r = 4πr2，与里面球的表面积重合！

如下图右上角所示，球上的小块投射到圆柱体上会变形，宽度可能会增大，而高度会相应减小。

小片可以从抬头和低头两个方向观察。那我们就来看看，我们的小片段在投射过程中经历了哪些未知的变化。

先看俯视图:

从中轴线向外投射，你一定发现投射越远，小块就会变得越宽。

所以纬度越高，也就是越靠近上下顶点的小块，扔在圆柱体上后宽度增加越多；赤道上的小块与圆柱体相连，所以宽度不会改变。

如果知道相似三角形的比例关系，因为△AEF和△ADC相似，这个增加的倍数就是r/d，也就是

CD/EF = r/d

对于球上的不同纬度，D会变化，而球的半径R不会变化。越靠近极点，D越小，r/d越大，小块的宽度增加越多，这与我们观察到的现象一致。

同样，你可以平视方向看情况:

很明显，这个方向的投影会使小块的高度缩小，也就是黄色线段的长度会缩短。

因为球是胖乎乎的，离两极越近，越接近“平躺”，投射后越缩；然而在赤道上，小块是直立的，投影并不改变小块的高度。

显然∠ α = ∠ β = ∠ γ，所以△哈德和△HIJ是相似的三角形。根据比例关系，我们知道:

EF/JH = d/r

也就是说平视投影会缩小小块的高度，缩小比例为D/R。

于是神奇的现象发生了。投影后，球上每个小块的形状确实发生了变化，宽度拉长了r/d倍，而高度缩小了d/r倍，这两个倍数相乘正好等于1。

结果就是小块投影前后的面积没有变化！仅用几个三角形，我们就很高兴地证明了一个球体的面积可以用一个外切圆柱体的面积来代替。

然后，计算一个球的表面积s ball = S cylinder = 2πr*2r = 4πr2。

祖庚原则

祖鲁原理也叫卡瓦列里原理(卡瓦列里原理)，因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等面积原理，用于复杂几何中，但实际上祖宣的发现比他早1100年。

“力势同，品不能异”这句话出自祖宣。如果你对高中数学课本有印象，可能会记得这里的力是指体积，势是指高度。这意味着，如果每个截面的面积相同，高度相同的物体的体积也相同。

成祖原理的提出是为了解决牟和方盖体积的计算问题，从而计算出球的体积。但现在更常见的用法如下:

所以，计算一个球的问题就变成了计算一个圆柱体和一个圆锥体的体积的问题。

计算一个球的体积！

知道了祖鲁的原理，我们就可以绕过微积分直接算球了！

根据祖鲁原理，半球的体积是经过我们巧妙的变换后，用圆柱体和圆锥体的体积来表示的。

众所周知，圆柱的体积是圆的面积和它的高度的乘积，V圆柱= πr2*r = πr3。还有圆锥体的体积，如果你不知道，你会发现V cone = πr3/3，正好是圆柱体的三分之一。

好奇的宝宝可能会问，三分之一是怎么来的？既然你诚心问了，祖轩就慈悲为怀为你解答。

我们还是抓住前面的圆锥体(截面积为πh2)，然后去掉烦人的π，截面积就变成h2了。那么h2代表谁的截面积呢？答:边长和高为r的四角锥。

太好了，只要做个除法，问题好像就简单多了！

但是你可能还是会问，你怎么计算一个金字塔的体积？别急，我们先好好看看这个金字塔。它的顶点在中心之上，还是感觉不够友好。它怎么能再次改变形状呢？没错，是时候牺牲祖祖原则了。

在这里，问题已经基本解决了。什么，你没看过？在空之间调动想象力，调整角度。把这样一个四角形的金字塔放在一个正方体里，好像刚刚好。你看能同时放几个进去吗？

是三个！一切都好~

立方体的体积显然是r3，所以金字塔的体积是r3/3。那么，对应圆锥体的体积只需要乘以π，V cone = r3/3*π。最终半球V半球的体积= V圆柱体-V圆锥体= πr3-πr3/3 = 2/3 (πr3)，那么V球体= 4/3 (πr3)，是不是和书上写的公式一模一样？

成功数球！撒完花~

作为数学的硬核推手，边肖想说，很多时候，通过转换思路，尝试其他工具，是可以开辟一条新路的。

所谓的数学之光就在这里，我想。

参考数据

Ⅰ.https://youtu.be/4_BEpekImQg

Ⅱ.https://b23.tv/av33120854

来源:鳄梨进化

编辑:广达元

↓点击标题查看↓

1.如果太阳biu熄灭，地球会发生什么？

2.每个摊煎饼的阿姨都是隐藏的流体力学专家。

你在看《长安最长的一天》，我却在看一部黑科技科普剧。

4.数学的深渊

5.坠入海底一万米。

6.别人能用脚和声波打开瓶盖，为什么有的女生拧不开？

7.这是一篇科普人写的关于口红的热门文章。

8.声音能有多大？

9.盲人看到的世界真的是黑暗的吗？

10.不要扔用过的吸管，在火上烤。隔壁的孩子都是…